Áreas de Superfícies
Seja o segmento da reta com no plano .
Considere a superfície de revolução obtida girando em torno do eixo .
Determine a sua área.
Passo 1
Então, galera! Essa questão trata de um tema que geralmente não ganha muita importância, que é o Teorema de Pappus.
Ele é aplicado justamente para o cálculo de área de superfícies de revolução.
Na teoria nós vimos rotações em torno do eixo e do eixo né? Mas aqui o cara pede eixo ! E agora? Problema nenhum! O invés de termos uma parametrização do tipo , vamos achar uma parametrização do tipo e usar nossas fórmulas normalmente!
A parametrização pra nossa curva fica:
Então a área vai ser dada por:
Passo 2
Substituindo os valores:
Como no intervalo , é sempre positivo podemos tirar esse módulo:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Como se integra uma função sobre uma superfície parametrizada no espaço? E de superfícies que são definidas implicitamente ou na forma explícita? O que se pode calcular com asintegrais de superfície?
Área de uma região elíptica - Encontre a área da região elíptica cortada do plano x + y + z = 1 pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Área de uma calota parabólica - Encontre a área da calota cortada do paraboloide y 2 + z 2 = 3 z pelo plano x = 1 .
Cilindro circular cortado por planos - Integre g x , y , z = x 4 y y 2 + z 2 sobre a porção do cilindro y 2 + z 2 = 25 que está no primeiro octante entre os planos x = 0 e x = 1 e acima do plano z = 3