Áreas de Superficies
Calcule a área da superfície de revolução gerada pela curva plana definida pela equação
em torno da reta paralela ao eixo passando pelo ponto .
Passo 1
Então, galera! Essa questão trata de um tema que geralmente não ganha muita importância, que é o Teorema de Pappus.
Ele é aplicado justamente para o cálculo de área de superfícies de revolução.
Quando a rotação ocorre em torno do eixo , a área é dada por:
Onde o faz o papel do raio.
Quando a rotação ocorre em torno do eixo , a área é dada por:
Onde e o fazendo o papel do raio.
Passo 2
Porém, como o eixo de rotação é paralelo ao eixo passando pelo ponto o nosso raio vai ser
Porque o eixo agora é o
, a área será dada por
Porém, como a equação que o problema nos dá é muito esquisita pra propor uma parametrização, vamos começar com algumas parametrizações simples para rotações:
Vamos substituir isso na equação que o problema nos dá e tentar encontrar uma relação entre e .
Passo 3
Substituindo as parametrizações na equação:
Como , podemos simplificar a equação:
Pra deixar tudo como função de , vamos usar a identidade . Além disso, vou simplificar esse troço e dividir todo mundo por , ok?
A partir daqui, temos duas possibilidades:
Mas como não pode ser negativo e o varia entre e , a opção que serve para nós é esta
Passo 4
Agora as nossas parametrizações ficam assim
Agora podemos calcular .
Tá dando trabalho, eu sei... mas não se entregue!
Bom, vamos usar as identidades e :
Bom, agora vamos tentar ajeitar isso aqui, pra isso, vamos substituir por e por .
Aeeee! Credeuspai, acabou!
Passo 5
Substituindo tudo que encontramos, e lembrando que vamos dar uma volta completa com as coordenadas polares, ou seja, vai de à :
Como nunca vai ser menor que , vai ser sempre maior que zero e podemos jogar o módulo fora!
Separando as integrais:
Passo 6
Lembra dessa identidade?
Então, vamos fazer o seguinte:
Logo:
Aqui temos que separar essa integral, vamos entender o sinal de com indo de à .
Se tivermos indo de a o cosseno da metade disso vai de à , ou seja ele é sempre positivo.
Se tivermos indo de a o cosseno da metade disso vai de à , ou seja ele é sempre negativo.
Assim temos que separar nossa integral, essa parada vai ficar
Passo 7
Resolvendo essa integral por substituição:
Passo 8
OBS: Eu sei que o gabarito do IM está diferente desse aqui, mas eu joguei essas integrais no Mathematica e a resposta deu igual a minha, tem alguns pequenos erros no gabarito dessa questão como por exemplo a integração de .