Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies

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Enunciado

Encontre a área da superfície obtida girando-se uma curva plana x 2 - 6 x + 5 + z 2 = 0   em torno do eixo z .

Passo 1

Vamos dar uma leve manipulada nessa curva C . Até então a gente tem

x 2 - 6 x + 5 + z 2 = 0

Isso a gente pode reescrever como

x 2 - 6 x + 5 + ( 4 - 4 ) + z 2 = 0

x 2 - 6 x + 9 + z 2 = 4

x - 3 2 + z 2 = 4

x - 3 2 + z 2 = 2 2

Vamos parametrizála como

x = 3 + r c o s t = 3 + 2 c o s t

y = 0

z = r s e n t = 2 s e n t

Com t dando a volta completinha (entre 0 e   2 π ) .

Passo 2

A área da superfície obtida quando giramos em torno do eixo z nos é dado por

2 π ∫ C x   d s

2 π ∫ 0 2 π 3 + 2 cos ⁡ t .   d s

E esse d s , quanto que vale mesmo?

= 4 s e n 2 t + 4 c o s 2 t = 4 ( s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 4 = 2 d t

2 π ∫ 0 2 π 3 + 2 c o s t × 2 d t

= 4 π ( 2 s e n t + 3 t ) | 2 π 0

= 24 π 2

Acabou

Resposta

24 π 2

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