Questão 3) Calcule:
b) A área delimitada pela curva dada ela parametrização onde
Passo 1
Pow, cara, para calcular a área dentro dessa curva aí, precisamos com muita urgência saber se a curva é fechada ou não. Bem, desenha-la está fora de condição, neh, mas vamos usar um truque matemático:
Vamos verificar os pontos de inicio e fim, pois ora, se a curva for fechada, esse ponto tem que ser o mesmo:
Quando é , a curva é...
Epa! O ponto é o mesmo! Isso é uma ótima indicação de que a curva é fechada. Mas veja! Essa condição não é suficiente. Afinal de contas, precisamos de uma curva que seja contínua e suave!
Ora bolas, então temos que verificar se quando nos aproximamos na curva ao , chagamos ao valor da parametrização no ponto ...
Calculando o limite na primeira função...
Como substituindo o ali obtemos o , podemos aplicar L’Hopital:
Então de fato a primeira coordenada vai a , mas e a segunda... Vai a?
Opa! Também foi! Então podemos afirmar que a parametrização é contínua em todos os pontos, portanto é uma curva fechada!
Passo 2
Então, para verificar se a curva é suave por partes, basta calcularmos a derivada dela (fora do ponto )...
Derivando atentando-se a regra da cadeia e da fração...
Opa! Então para qualquer menos o , a derivada existe (e ela aí ) e contínua. No , não nos interessa muito, afina já vimos que a curva é fechada, isso já garante que podemos prosseguir ao cálculo da área ;)
Passo 3
A área de uma região plana sempre é dada por uma integral dupla, bem famosa por sinal:
Acontece que essa forma de calcular a área, precisamos descrever a região de alguma forma - normalmente é do tipo ou . Mas se você notar, não temos uma região definida, então vai ser difícil descrevê-la.
Bem, então o que fazer?
Vamos usar o que temos em mãos, a curva ;)
Passo 4
O fato de ter uma curva já parametrizada e fechada delimitando a região que queremos a área, indica que vamos ter que utiliza-la, mas como? Bem pelo teorema de Green, temos uma relação entre a integral de linha com a dupla:
Onde é uma função vetorial com expressão...
Então repare que se fizermos...
Temos a área relacionada com uma integral de linha.
Agora a pergunta que não quer calar: quem vem a ser a função ? Bem, qualquer função que satisfaça a condição dessa subtração de derivadas parciais. É sempre interessante pegar:
Passo 5
Aplicando então a igualdade...
Se vamos buscamos a solução dessa integral de linha do modo diretão, nada mais justo que seguirmos o passo a passo maroto de resolução desse tipo de integral:
- Parametrizar a curva que estamos trabalhando:
- Substituir os termos do campo vetorial pelos termos da parametrização...
- Encontrar o termo
Já está feita...
Como na curva...
(veja que também é quando estamos no ponto , mas um ponto só é irrelevante neh?)
Bem, já está quase tudo feito também, afinal...
Passo 6
Voltando para a integral de linha que estamos trabalhando
e substituir todos os dados que obtivemos...
Não se esqueça de realizar esse produto escalar de vetores aí, heim!
Agora basta que resolva a integral e correr para o abraço!