UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 3, AV2 - 2023.1, Questão 3
Compute o fluxo do campo vetorial aravés da esfera unitária .
Passo 1
Beleza? Pronto para utilizar o Teorema do divergente? Ele é uma excelente pedida quando temos que calcular o fluxo em um campo vetorial, o querido tem a seguinte forma
A nossa integração será em relação da nossa esfera de raio 1.
Passo 2
Primeira coisa, calcular o divergente meu amigo:
Agora aqui temos um milagre, os deuses da matemática nos amam, como o nosso divergente é 1, nossa integral se torna apenas o volume da região, região essa que é a esfera unitária, sendo assim já sabemos qual o seu valor:
Resposta
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Como se integra uma função sobre uma superfície parametrizada no espaço? E de superfícies que são definidas implicitamente ou na forma explícita? O que se pode calcular com asintegrais de superfície?
Área de uma região elíptica - Encontre a área da região elíptica cortada do plano x + y + z = 1 pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Área de uma calota parabólica - Encontre a área da calota cortada do paraboloide y 2 + z 2 = 3 z pelo plano x = 1 .
Cilindro circular cortado por planos - Integre g x , y , z = x 4 y y 2 + z 2 sobre a porção do cilindro y 2 + z 2 = 25 que está no primeiro octante entre os planos x = 0 e x = 1 e acima do plano z = 3