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Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies

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Exercício 1312345678910111214151617

Enunciado

Questão 4) Sejam a e b positivos. Determinar a área delimitada pela curva simples e fechada

C :     x t = 2 a cos ⁡ t - a sin ⁡ 2 t ,         y t = b sin ⁡ t ,                 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 1

Normalmente, quando queremos a área de uma região plana qualquer D , a gente pode calcular com o auxílio da integral dupla:

Á r e a   d e   D = ∬ D   1 d A

O problema é que não conhecemos a região D . E agora? O que fazer?!!!

Calma!!! A gente conhece a curva que delimita essa região (já está até parametrizada como curva C ). Assim, podemos utilizar o teorema de Green !

∫ C   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Como queremos área da região delimitada... Podemos forçar

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1

Como você já deve sabe, existem vários campos F → que satisfaz essa condição, mas talvez o mais fácil é (e o que a gente mais usa nesses problemas ;)

F → = 0 ,   x

Com esse campo, podemos calcular a área utilizando a informação só da curva

Á r e a   d e   D = ∫ C   F → d r →

Com uma integral de linha! Legal Neh?

Passo 2

Para resolver essa integral de linha a gente age normalmente, ou seja, a primeira coisa é parametrizar a curva (Que pra nossa alegria já está parametrizada):

C :     x t = 2 a cos ⁡ t - a sin ⁡ 2 t ,         y t = b sin ⁡ t ,                 0 ≤ t ≤ 2 π .

Vamos apenas colocar em uma forma mais bonita de se ver (Sou um pouco perfeccionista rsrs):

r → t = 2 a cos ⁡ t - a sin ⁡ 2 t , b sin ⁡ t   ,                 0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 3

Agora vamos encontrar o d r → ...

d r → = r → ' t d t

Ou seja, basta derivar, neh? (Só toma cuidado, pois a e b são constantes)

r ' t = - 2 a sin ⁡ t - 2 a cos ⁡ 2 t ,   b cos ⁡ t

Logo...

d r → = - 2 a sin ⁡ t - 2 a cos ⁡ 2 t ,   b cos ⁡ t d t

Passo 4

Agora é só voltar para a integral de linha e substituir basicamente...

Á r e a   d e   D = ∫ C   F → d r → =

Caaaaalllma! Só um momento! Lembra quem é F → ?

F → = 0 ,   x

Mas não vamos integrar em x neh, então devemos substituir x pela parametrização r → t = 2 a cos ⁡ t - a sin ⁡ 2 t , b sin ⁡ t   ...

F → r → t = 0 ,   2 a cos ⁡ t - a sin ⁡ 2 t  

Agora sim substituindo ...

∫ 0 2 π 0 ,   2 a cos ⁡ t - a sin ⁡ 2 t   ⋅ - 2 a sin ⁡ t - 2 a cos ⁡ 2 t ,   b cos ⁡ t d t =

∫ 0 2 π 2 a cos ⁡ t - a sin ⁡ 2 t b cos ⁡ t   d t =

∫ 0 2 π 2 a b cos 2 ⁡ t - a b cos ⁡ t sin ⁡ 2 t   d t =

Separando as integrais...

∫ 0 2 π 2 a b cos 2 ⁡ t   d t - ∫ 0 2 π a b cos ⁡ t sin ⁡ 2 t   d t

Vamos calcula-las separadamente, ok?

Passo 5

Pra primeira integral...

∫ 0 2 π 2 a b cos 2 ⁡ t   d t

Fazendo cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2

∫ 0 2 π 2 a b cos 2 ⁡ t   d t = ∫ 0 2 π 2 a b 1 + cos ⁡ 2 t 2   d t =

∫ 0 2 π a b 1 + cos ⁡ 2 t   d t = ∫ 0 2 π a b + a b cos ⁡ 2 t   d t

  a b t + a b sin ⁡ 2 t 2   0 2 π = a b 2 π + a b sin ⁡ 4 π 2 - a b ⋅ 0 + a b sin ⁡ 0 2 =

2 π a b

Passo 6

Quanto a segunda integral...

∫ 0 2 π a b cos ⁡ t sin ⁡ 2 t   d t

Lembrando que sin ⁡ 2 t = 2 sin ⁡ t cos ⁡ t ...

∫ 0 2 π a b cos ⁡ t sin ⁡ 2 t   d t = ∫ 0 2 π 2 a b sin ⁡ t cos 2 ⁡ t   d t =

2 a b ∫ 0 2 π sin ⁡ t cos 2 ⁡ t   d t

Fazendo uma substituição simples do tipo...

cos ⁡ t = u

E

d u = - sin ⁡ t d t         →         sin ⁡ t d t = - d u

Não se esquecendo também dos limites de integração...

t = 0                 →                     u = cos ⁡ 0 = 1

t = 2 π                 →                     u = cos ⁡ 2 π = 1

2 a b ∫ 0 2 π sin ⁡ t cos 2 ⁡ t   d t = 2 a b ∫ 1 1 u 2   - d u

Opa!!! Limites de integração iguais? Então...

∫ 0 2 π a b cos ⁡ t sin ⁡ 2 t   d t = 0

Passo 7

Voltando para o problema onde dividimos em duas integrais...

Á r e a   d e   D = ∫ 0 2 π 2 a b cos 2 ⁡ t   d t - ∫ 0 2 π a b cos ⁡ t sin ⁡ 2 t   d t

Substituindo...

Á r e a   d e   D = 2 π   a b - 0

Á r e a   d e   D = 2 π   a b

Resposta

2 π a b

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