USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 13
Determine os momentos de inércia , e das lâminas descritas nos itens c) e d) do exercício anterior.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar o momento de inércia em relação ao eixo , , em relação ao eixo , , e o momento de inércia em relação à origem, . Esses momentos vão ser calculados na região do item c) (região do primeiro quadrante limitada pela parábola e a reta e ) e na região do item d) (região limitada pela parábola e a reta e ).
O momento de inércia em relação ao eixo é calculado por meio da equação:
Pra o momento de inércia em relação ao eixo , vamos usar a equação:
E pro momento polar de inércia, que é aquele em relação à origem, temos:
Então, vamos montar nossas integrais e calcular as propriedades pedidas. Vamos lá!
Passo 2
No item c) nós vimos que nossa região é limitada por e , com . Então, nosso momento em relação a vai ficar:
Assim, integrando em relação a , vamos ter:
Então, integrando em relação a :
Passo 3
Calculando agora o momento de inércia em relação ao eixo para o item c), temos:
Assim, integrando em relação a , vamos ter:
Então, integrando em relação a :
Passo 4
Calculando agora o momento de inércia em relação à origem do item c), temos:
Integrando em relação a :
Aplicando os intervalos de integração em :
Integrando em relação a :
Aplicando os intervalos de integração:
Passo 5
No item d) nós vimos que nossa região é limitada por e , com . Então, nosso momento em relação a vai ficar:
Assim, integrando em relação a , vamos ter:
Então, integrando em relação a :
E aplicando os intervalos:
Passo 6
Calculando agora o momento de inércia em relação ao eixo para o item d), temos:
Assim, integrando em relação a , vamos ter:
Então, integrando em relação a :
Passo 7
Nós também podemos calcular o momento de inércia em relação à origem através da equação:
Como temos e , nosso momento polar será:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉