Encontre o momento de inércia em relação ao eixo de uma placa fina limitada pelas curvas e se a densidade no ponto for .
Passo 1
A gente viu na teoria que o momento de inércia em relação ao eixo pode ser encontrado pela fórmula:
Então só temos que ver como que vai ficar a região para podermos resolver a integral.
Passo 2
A nossa região vai ser o interior da interseção de duas parábolas, que podemos esboçar assim:
Que podemos escrever tanto como tipo , quanto tipo , mas vamos escolher o tipo porque tem equações mais simpáticas pros limites do .
Dessa forma, vamos ter variando entre e aquele ponto de interseção entre as parábolas, dado em:
Então nossa região vai ser descrita por:
Agora é só calcular a integral!
Passo 3
Tinhamos a fórmula: