Uma placa retangular de densidade constante ocupa a região limitadas pelas retas e no primeiro quadrante. O momento de inércia do retângulo em relação à reta é dado pela integral:
Encontre o valor de que minimiza .
Passo 1
Nesse exercício ele não usa o momento de inércia em relação a nenhum dos eixos, como estávamos vendo até agora, mas a uma reta paralela ao eixo .
Mas como ele já dos dá a fórmula que vamos precisar a única coisa que temos que nos preocupar por enquanto é resolver essa integral:
Vamos ver como que fica!
Passo 2
Já temos tudo bonitinho, então é só sair resolvendo mesmo:
Essa é a expressão do momento de inércia em função do valor de .
Passo 3
Mas como vamos saber o valor de que vai nos dar o mínimo de ?
Pra responder isso vamos lembrar um conceito lá de Cálculo 1, de otimização.
Se derivarmos , vamos ter:
E um ponto mínimo deve ser dar quando , então:
Passo 4
Só para conferir, podemos fazer a segunda derivada de :
Que é positivo, então podemos confirmar que se trata de um ponto mínimo local.