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Exercícios Resolvidos de Combinação Linear

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Exercício 101234567891112131415

Enunciado

USP, 2019.1, P1, Q7

Considere as seguintes afirmações sobre os vetores u → , v → , w →   ∈ V 3 satisfazendo u → = v → = w → = 2 e u → ∙ v → = v → ∙ w → = w → ∙ u → = 1 .

I .   Q u a l q u e r   e l e m e n t o   d e   u → , v → , w →   s e   e s c r e v e   c o m o   c o m b i n a ç ã o   l i n e a r   d o s   o u t r o s   d o i s .

I I .   T o d o   v e t o r   d e   V 3   s e   e s c r e v e   c o m o   c o m b i n a ç ã o   l i n e a r   d e   u → , v → , w →

I I I .   T o d o   v e t o r   q u e   é   c o m b i n a ç ã o   l i n e a r   d e   u → , v → , w →   t e m   n o r m a   2 .

Passo 1

Falaa, blz?? Bora começar essa questão pela primeira afirmação.

I .   Q u a l q u e r   e l e m e n t o   d e   u → , v → , w →   s e   e s c r e v e   c o m o   c o m b i n a ç ã o   l i n e a r   d o s   o u t r o s   d o i s .

Essa afirmação é equivalente a dizer que esses 3 vetores não são L.I.. Pois se um vetor é escrito como combinação dos outros 2 eles são L.D

O que a afirmação nos diz é:

u → = a v → + b w → ,     p a r a   a , b ∈ R  

Temos que:

u → ∙ v → = u → ∙ w →

a v → + b w → ∙ v → =   ( a v → + b w → ) ∙ w →

a v → ∙ v → + b w → ∙ v → = a v → ∙ w → + b ( w → ∙ w → )

4 a + b = a + 4 b

a = b

Logo u → = a v → + a w → = b v → + b w →

u → ∙ a v → = a   e   u → ∙ a w → = a

Somando:

u → ∙ a v → + u → ∙ a w → =   u → ∙ a v → + a w → = 2 a

Mas como foi achado:

u → = a v → + a w →

Logo:

  u → ∙ u → = 2 a   ∴ a = 2

Mas então u → = 2 v → + 2 w → , portanto:

u → ∙ u → = 2 v → + 2 w → ∙ 2 v → + 2 w →

= 2 v → ∙ 2 v → + 2 w → + 2 w → ∙ 2 v → + 2 w →    

= 2 v → ∙ 2 v → + 2 v → ∙ 2 w → + 2 w → ∙ 2 v → + 2 w → ∙ 2 w →

= 4 v → ∙ v → + 4 v → ∙ w → + 4 w → ∙ v → + 4 w → ∙ w →

16 + 4 + 4 + 16 = 40   ≠ 4

Agora temos que entender o que achamos.

Primeiro a gente supôs que um dos vetores era combinação dos outros 2, seguimos com essa ideia até chegar num absurdo ( u → ∙ u → = 40 ) , ou seja, conseguimos provar por contradição que um dos vetores não pode ser combinação dos outros 2

Passo 2

O que achamos na primeira afirmação já nos diz que a segunda está correta, pois se um não é combinação dos outros, eles são L.I. Ou seja, temos 3 vetores L.I em V 3 e, portanto, juntos formam uma base do espaço.

Passo 3

Agora falta a última afirmação.

I I I .   T o d o   v e t o r   q u e   é   c o m b i n a ç ã o   l i n e a r   d e   u → , v → , w →   t e m   n o r m a   2 .

Ou seja, vamos tomar um vetor qualquer que seja combinação desses 3 e calcular a norma.

x → =   u → + v → + w →

x → , x → =   x → 2

x → , x → = u → + v → + w → , u → + v → + w → =

=   u → , u → + v → + w → + v → , u → + v → + w → + w → , u → + v → + w →

u → , u → + v → + w → =   u → , u → + u → , v → + u → , w →

v → , u → + v → + w → = v → , u → + v → , v → + v → , w →

w → , u → + v → + w → = w → , u → + w → , v → + w → , w →

Mas veja que se somarmos todas as 3 equações já dará mais de 4, teríamos algo do tipo

x → 2 > 4 , logo a afirmação está errada

Resposta

Letra E

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