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Exercícios Resolvidos de Combinação Linear

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Exercício 131234567891011121415

Enunciado

USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, P1 - 2016, Questão 9

Seja W um subespaço de R 3 de dimensão 2 e seja T : R 3 → R 3 a transformação linear definida por:

T x , y , z = - x - 2 y - 3 z ,   x + 2 y + 3 z ,   3 x + 6 y + 9 z ,       x , y , z ∈ R .

Considere as seguintes afirmações:

( I ) existe um vetor v ≠ 0 em K e r T ∩ W ;

( I I ) existe um vetor v ≠ 0 em I m T ∩ W ;

( I I I ) T T v = T ( v ) , para todo v ∈ R 3 .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

b) apenas a afirmação ( I I ) é necessariamente verdadeira;

c) apenas a afirmação ( I ) é necessariamente verdadeira;

d) apenas as afirmações ( I ) e ( I I ) são necessariamente verdadeiras;

e) nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira.

Passo 1

Ooi pessoal, tudo bom?

Nessa questão temos uma transformação linear dada por:

T x , y , z = - x - 2 y - 3 z ,   x + 2 y + 3 z ,   3 z + 6 y + 9 z ,       x , y , z ∈ R .

E, temos também W um subespaço do R 3 , de dimensão 2 . Sobre eles são feitas algumas afirmações que vamos analisar uma a uma, beleza?

Pra começar, na afirmação ( I ) é falado que existe um vetor, não-nulo, em K e r T ∩ W .

Vamos começar analisando melhor a transformação dada.

- x - 2 y - 3 z ,   x + 2 y + 3 z ,   3 x + 6 y + 9 z =

x - 1,1 , 3 + y - 2 ,   2 ,   6 + z ( - 3 ,   3 ,   9 )

= x - 1,1 , 3 + 2 y - 1,1 , 3 + 3 z - 1,1 , 3

Ou seja:

T x , y , z = x + 2 y + 3 z ⋅ ( - 1,1 , 3 )

Logo:

dim ⁡ I m T = 1

Pelo teorema, temos:

dim ⁡ I m T + dim ⁡ K e r T = dim ⁡ R 3

1 + d i m ⁡ ( K e r T = 3

Logo:

dim ⁡ K e r T = 2

Agora, podemos usar que:

dim ⁡ W ∪ K e r T = dim ⁡ W + dim ⁡ K e r T - dim ⁡ W ∩ K e r T

Ou seja:

dim ⁡ W ∩ K e r T = 2 + 2 - dim ⁡ W ∪ K e r T

Como K e r T ∪ W ainda é um subespaço do R 3 , temos que:

dim ⁡ W ∪ K e r T ≤ 3

Logo:

dim ⁡ W ∩ K e r T ≥ 4 - 3

≥ 1

Como a dimensão de W ∩ K e r ( T ) é maior, ou igual a 1 . Podemos afirmar que existe um vetor v ≠ 0 em K e r T ∩ W .

Logo, a afirmação ( I ) é verdadeira.

Passo 2

A afirmação ( I I ) diz que existe um vetor em I m T ∩ W .

O problema é que o enunciado não fala quem é o conjunto W , é falado apenas que ele tem dimensão 2 . Assim, podemos supor que:

W = { 0,1 , 0 ,   0,0 , 1 }

Mas I m T = { - 1,1 , 3 } . Assim, enquanto a primeira coordenada dos vetores não-nulos de I m ( T ) é sempre diferente de zero, para esse W que estamos propondo essa mesma coordenada é sempre nula.

Logo, não existe necessariamente um vetor v ≠ 0 tal que v ∈ I m T ∩ W .

A afirmação ( I I ) é falsa.

Passo 3

Já a afirmação ( I I I ) diz que:

T T v = T v

Lembrando que vimos no passo 1 :

T x , y , z = x + 2 y + 3 z ⋅ ( - 1,1 , 3 )

Vamos tentar um exemplo. Façamos:

v = 1,0 , 0

Assim:

T 1,0 , 0 = 1 + 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 ⋅ - 1,1 , 3

= - 1,1 , 3

Aplicando novamente a transformação:

T - 1,1 , 3 = - 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 ⋅ - 1,1 , 3

= - 10 ,   10 ,   30 ≠ ( - 1,1 , 3 )

Portanto, essa afirmação também é falsa.

Sendo assim, a única afirmação verdadeira é a ( I ) .

Prontinho gente, espero que vocês tenham curtido a solução!

Até a próxima 😊

Resposta

Letra c).

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