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Exercícios Resolvidos de Combinação Linear

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Exercício 312456789101112131415

Enunciado

Determinar a condição para x ,   y ,   z ,   w de modo que ( x ,   y ,   z ,   w ) seja combinação linear de   v 1 → = ( 1 ,   - 3 ,   2,2 ) e   v 2 → = ( 2 ,   4 ,   - 1 , - 1 ) .

Passo 1

Ok, vamos começar escrevendo  ( x ,   y ,   z ,   w ) como C L de   v 1 → e   v 2 → !

Ficaria assim:

( x ,   y ,   z ,   w ) = a v 1 → + b v 2 →

x ,   y ,   z ,   w = a 1 ,   - 3 ,   2,2 + b 2,4 ,   - 1 , - 1

Abrindo em um sisteminha,

x = 1 a + 2 b     I y = - 3 a + 4 b     I I z = 2 a - 1 b     I I I w = 2 a - 1 b     ( I V )

Agora vamos tentar achar uma relação entre x ,   y ,   z , e w sem os a ' s e b ' s (vamos tentar zerar esses caras)

Fazendo I - ( I I ) , obtemos:

x - y = 1 a + 2 b - - 3 a + 4 b

x - y = 1 a + 2 b + 3 a - 4 b

x - y = 4 a - 2 b

Vamos guardar esse resultado! Ainda precisamos colocar z e w nessa relação!

Fazendo x - y - I I I - ( I V ) ,

x - y - z - w = 4 a - 2 b - 2 a - 1 b - 2 a - 1 b

x - y - z - w = 4 a - 2 b - 2 a + b - 2 a + b

x - y - z - w = 0

Também sabemos que z = w , já que as equações I I I e I V são iguais!

Substituindo isso na nossa relação aqui de cima, ficamos com:

x - y - w - w = 0

x - y - 2 w = 0

Uhull!! Achamos a nossa relação!

Mas o que fazemos com ela??

Se liga no passo 2!

Passo 2

Pensa comigo, o vetor ( x ,   y ,   z ,   w ) só será C L de   v 1 → e   v 2 → se o sistema gerado por:

x ,   y ,   z ,   w = a 1 ,   - 3 ,   2,2 + b 2,4 ,   - 1 , - 1

Possuir solução. E, esse sistema só terá solução se x - y - 2 w = 0 (já que obtivemos essa relação baseada justamente no fato de o sistema ter solução).

Então, todos os vetores x ,   y ,   z ,   w ∈ R 4 obedecerão a equação x - y - 2 w = 0 !

Para ficar mais bonitinho, podemos escrever:

x - y - 2 w = 0

x = y + 2 w

E, já sabemos que z = w .

Logo, os vetores serão da forma:

( y + 2 w ,   y ,   w ,   w )

Achamos nossa relação!! Showww de bolinhas!

Resposta

Os vetores serão da forma:

( y + 2 w ,   y ,   w ,   w )

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam A = (1, 2, 3), B = (3, −1, 2), C = (4, 3, −1) e D = (5, −15, 6). Mostre que os vetores u=A B → ,v=A C →ew=A D → são linearmente dependentes e ache a equação de um plano que contenha os pontos A,
Seja E = e → 1 , e → 2 , e → 3 uma base . Sejam f 1 → = e → 1 - e → 2 + e → 3 , f 2 → = e → 2 + e → 3 e f 3 → = - 2 e → 3 (a)Mostre que F = ( f 1 → , f 2 , → f 3 → ) também é uma base.
Seja B = u → 1 , u → 2 , u → 3 uma base de V . (b)Se a → = 1 , - 3,2 B , quais são as coordenadas de a → na base C ?
Dadas as bases: E = ( - 1,1 , 0 B , 1,1 , 2 B , - 1,0 , 1 B ) e F = 0,1 , 1 E , 1,2 , - 1 E , 2 , - 1,0 E , determine na base B as coordenadas de v → = - 1,2 , - 3 E - - 2,1 , 1 F
Seja B = (vec u_1 , vec u_2 , vec u_3) uma base de V . (a)Demonstre que C = (vec v_1 , vec v_2 , vec v_3) , com vec v_1 = vec u_1 + 2 vec u_2 + vec u_3 , vec v_2 = vec u_1 - vec u_2 - vec u_3 e vec v_