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Exercícios Resolvidos de Combinação Linear

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Exercício 111234567891012131415

Enunciado

USP – Álgebra Linear – P1 2021 – Questão 8

Seja B = u , v , w uma base de V 3 e seja a ∈ R . O vetor u + v + w é combinação linear dos vetores

u + v + a w

u + a v + w

a u + 2 - a v + w

Se, e somente se,

a) a ≠ 2

b) a ≠ 3

c) a ≠ 0

d) a ≠ - 4

e) a ≠ 1

f) a ≠ - 3

Passo 1

Olááá, tudo belezinha?? Vem aqui e vamos arrebentar nesse exercício

Queremos saber para qual condição da constante a o vetor e = u + v + w vai ser combinação linear de x , y , z , onde

x = u + v + a w

y = u + a v + w

z = a u + 2 - a v + w

Ou seja, para quais valores de a teremos que existem α , β , γ tais que

e = α . x + β . y + γ . z

Sacou? Então vamos lá desenvolver essa equação aí em cima

Passo 2

Queremos saber quando existem α , β , γ tais que essa combinação linear seja verdadeira:

e = α . x + β . y + γ . z

Vamos substituir as expressões de x , y , z , e :

u + v + w = α u + v + a w + β u + a v + w + γ a u + 2 - a v + w

Agora vamos fazer a distributiva:

u + v + w = α u + α v + α . a w + β u + β . a v + β w + γ a u + γ . 2 - a v + γ . w

Colocando u , v , w em evidência:

u + v + w = u . α + β + γ . a + v . α + β . a + γ . 2 - a + w . α . a + β + γ

Passo 3

Show, vamos pensar juntos!! Temos essa igualdade:

1 . u + 1 . v + 1 . w = u . α + β + γ . a + v . α + β . a + γ . 2 - a + w . α . a + β + γ

Igualando o que multiplica u , v , w em cada lado, chegamos nesse sistema:

α + β + γ . a = 1 α + β . a + γ . 2 - a = 1 α . a + β + γ = 1

Opaaa! Já temos algo mais concreto!!

Queremos que exista α , β e γ , certo???

Ou seja, queremos que esse sistema seja possível! Vamos encontrar para quais valores de a isso vai acontecer

Passo 4

Temos esse sistema:

1 1 α + 1 β + γ . a = 1 α + β . a + γ . 2 - a = 1 α . a + 1 β + 1 γ = 1

Colocando-o na forma matricial:

1 1 a 1 a 2 - a a 1 1 1 1 1

Vamos escalonar essa matriz e ver para quais valores de a o sistema é possível

1 1 a 1 a 2 - a a 1 1 1 1 1 → L 2 ⇔ L 3 1 1 a a 1 1 1 a 2 - a 1 1 1

1 1 a a 1 1 1 a 2 - a 1 1 1 → L 2 → L 2 - a . L 1 L 3 → L 3 - L 1 1 1 a 0 1 - a 1 - a ² 0 a - 1 2 - 2 a 1 1 - a 0

1 1 a 0 1 - a 1 - a ² 0 a - 1 2 - 2 a 1 1 - a 0 → L 3 → L 3 + L 2 1 1 a 0 1 - a 1 - a ² 0 0 3 - 2 a - a ² 1 1 - a 1 - a

Showw, a matriz está escalonada!

O sistema vai ser possível quando não for impossível, certo? Hahahaha

E ele vai ser impossível quando 3 - 2 a - a 2 = 0 mas 1 - a ≠ 0

Então vamos ver para quais valores de a isso vai acontecer

Passo 5

Vamos encontrar os valores de a tais que

3 - 2 a - a 2 = 0

Mas que ao mesmo tempo 1 - a ≠ 0

Esses vão ser os valores de a que tornam o sistema impossível

Então:

- a 2 - 2 a + 3 = 0

∆ = - 2 2 - 4 . - 1 . 3 = 4 + 12 = 16

Logo

a = 2 ± 4 - 2

a = - 3     o u     a = 1

Mas ao mesmo tempo, precisamos que

1 - a ≠ 0

a ≠ 1

E aí o sistema será impossível

Então, o a que faz o sistema ser impossível é a = - 3 , porque nesse valor temos que - a 2 - 2 a + 3 = 0 mas também temos que 1 - a ≠ 0

Então, o sistema vai ser possível quando a ≠ - 3 , fechou??

Logo, para esse valor de a , conseguimos montar a nossa combinação linear 😊

Resposta

f) a ≠ - 3

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