Exercícios Resolvidos de Combinação Linear

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Enunciado

Escreva o vetor   v → = ( 0,0 , 0,0 ) como combinação linear dos vetores  v 1 → = ( 1 ,   0 ,   0,0 ) v 2 → = ( 0 ,   1 ,   0,0 ) ,   v 3 → = ( 2 ,   - 1 ,   3 ,   2 ) ,   v 4 → = ( 1 ,   2 ,   3 ,   1 ) .

Passo 1

Belezinha, vamos começar escrevendo   v → como C L de   v 1 → v 2 → v 3 → v 4 → !

Ficaria assim:

v → = a v 1 → + b v 2 → + c v 3 → + d v 4 →

0 ,   0 ,   0 ,   0 = a 1 ,   0 ,   0,0 + b 0,1 ,   0,0 + c 2 ,   - 1 ,   3 ,   2 + d 1 ,   2 ,   3 ,   1

Abrindo em um sistema,

0 = 1 a + 2 c + 1 d     I 0 = 1 b + - 1 c + 2 d     I I 0 = 3 c + 3 d   I I I 0 = 2 c + 1 d     ( I V )

De ( I I I ) tiramos que d = - c   ( i )

Substituindo em ( I V ) :

0 = 2 c + - c

c = 0

Logo, d = 0

Se substituirmos esses valores em ( I ) e ( I I ) , também vamos achar a = 0 e b = 0 .

Então, nossa C L fica:

0 ,   0 ,   0 ,   0 = 0 1 ,   0 ,   0,0 + 0 0,1 ,   0,0 + 0 2 ,   - 1 ,   3 ,   2 + 0 1 ,   2 ,   3 ,   1

Passo 2

Resposta

0 ,   0 ,   0 ,   0 = 0 1 ,   0 ,   0,0 + 0 0,1 ,   0,0 + 0 2 ,   - 1 ,   3 ,   2 + 0 1 ,   2 ,   3 ,   1

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Sejam A = (1, 2, 3), B = (3, −1, 2), C = (4, 3, −1) e D = (5, −15, 6). Mostre que os vetores u=A B → ,v=A C →ew=A D → são linearmente dependentes e ache a equação de um plano que contenha os pontos A,
Seja E = e → 1 , e → 2 , e → 3 uma base . Sejam f 1 → = e → 1 - e → 2 + e → 3 , f 2 → = e → 2 + e → 3 e f 3 → = - 2 e → 3 (a)Mostre que F = ( f 1 → , f 2 , → f 3 → ) também é uma base.
Seja B = u → 1 , u → 2 , u → 3 uma base de V . (b)Se a → = 1 , - 3,2 B , quais são as coordenadas de a → na base C ?
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Seja B = (vec u_1 , vec u_2 , vec u_3) uma base de V . (a)Demonstre que C = (vec v_1 , vec v_2 , vec v_3) , com vec v_1 = vec u_1 + 2 vec u_2 + vec u_3 , vec v_2 = vec u_1 - vec u_2 - vec u_3 e vec v_