Exercícios Resolvidos de Comprimento de Onda de De Broglie

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Enunciado

Um elétron livre não-relativístico é preparado com velocidade média v - = 10 6   m / s e com uma incerteza Δ v = 10 - 3 v - . A incerteza na medida da posição deste elétron (considere o problema unidimensional) satisfaz

a) Δ x ≥ 4,5 ⋅ 10 - 8   m .

b) Δ x ≤ 4,5 ⋅ 10 - 8   m .

c) Δ x = 1,0 ⋅ 10 - 8   m .

d) Δ x ≥ 1,0 ⋅ 10 - 8   m .

e) Não tem relação com os dados fornecidos.

Passo 1

Fala galerinha, bora resolver mais uma questão de física 4?

Para resolver esse problema temos que lembrar do Princípio da Incerteza de Heisenberg:

Δ x   Δ p ≥ ℏ 2 = h 4 π

Nessa última equação, Δ x é a incerteza da posição e Δ p é a incerteza do momento.

Como a velocidade é menos que 1 % da velocidade da luz c = 3 ⋅ 10 8   m / s , podemos usar a expressão clássica para o momento:

p = m v

Logo,

Δ p = m   Δ v

Portanto, a relação de incerteza é

Δ x ⋅ m   Δ v ≥ h 4 π

Isolando Δ x :

Δ x ≥ h 4 π m   Δ v

Passo 2

Agora é só substituir os números. Primeiro:

Δ v = 10 - 3 v - = 10 - 3 ⋅ 10 6 = 10 3   m / s

Além disso, podemos multiplicar por c 2 o numerador e o denominador:

Δ x ≥ h c 4 π m c 2 Δ v   c

No formulário da prova, foi fornecido que h c = 900   e V   n m , m c 2 = 0,5   M e V para o elétron e π = 3 . Agora vamos substituir os números:

Δ x ≥ 900   e V   n m 4 ⋅ 3 ⋅ 0,5 ⋅ 10 6   e V ⋅ 10 3 m s ⋅ 3 ⋅ 10 8   m / s

Simplificando as unidades e V e m / s , achamos

Δ x ≥ 450 ⋅ 10 - 9   n m ⋅ 10 8

Como 1   n m = 10 - 9   m , temos que

Δ x ≥ 450 ⋅ 10 - 18 ⋅ 10 8   m = 450 ⋅ 10 - 10   m

Logo,

Δ x ≥ 4,5 ⋅ 10 - 8   m

Com isso chegamos na alternativa A 😊.

Resposta

Alternativa A.

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