Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Proposições

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Enunciado

Se λ 2 ,   … ,   λ n é um conjunto qualquer de escalares e u 1 ,   … ,   u n são vetores de um espaço vetorial V , então as seguintes condições são equivalentes:

(a) u 1 , … , u n é linearmente independente.

(b) u 1 ,   u 2 + λ 2 u 1 ,   … ,   u n + λ n u 1 é linearmente independente.

Passo 1

Vamos começar com a letra (a)!

Para provar essa letra, vamos usar o que está sendo afirmado na letra (b). Reparem que podemos fazer isso, já que o enunciado diz que as condições são equivalentes.

Então, se u 1 ,   u 2 + λ 2 u 1 ,   … ,   u n + λ n u 1 é linearmente independente, podemos escrever:

α 1 u 1 + α 2 u 2 + λ 2 u 1 + … + α n u n + λ n u 1 = 0

Para deixar nossa equação mais organizada, faremos:

( I ) v 1 = u 1 v 2 = u 2 + λ 2 u 1 … v n = u n + λ n u 1

Assim, α 1 v 1 + α 2 v 2 + … + α n v n = 0

Agora o que estamos tentando provar é que, por hipótese, se v 1 , … , v n é linearmente independente, decorre que u 1 , … , u n também é linearmente independente!

Tá, mas como faremos isso??

Primeiro, vamos supor que u 1 , … , u n é linearmente independente. Logo,

α 1 u 1 + α 2 u 2 + … + α n u n = 0   ( I I )

De ( I ) , tiramos

v 1 = u 1 v 2 - λ 2 u 1 = u 2 … v n - λ n u 1 = u n

Substituindo em ( I I ) :

α 1 v 1 + α 2 ( v 2 - λ 2 v 1 ) + … + α n ( v n - λ n v 1 ) = 0

Isolando os vetores,

α 1 - α 2 λ 2 - … - α n λ n v 1 + α 2 v 2 + … + α n v n = 0

E, como v 1 , … , v n é linearmente independente, temos:

α 1 - α 2 λ 2 - … - α n λ n = 0 α 2 = 0 … α n = 0

Com isso, a única solução do sistema é

α 1 = α 2 = … = α n = 0

E, provamos que u 1 , … , u n é linearmente independente!

Passo 2

Passo 3

N a letra (b), podemos interpretar o enunciado da seguinte forma: “Se u 1 ,   u 2 + λ 2 u 1 ,   … ,   u n + λ n u 1 é linearmente independente, então u 1 , … , u n é linearmente independente”.

Logo, se u 1 ,   u 2 + λ 2 u 1 ,   … ,   u n + λ n u 1 é linearmente independente, podemos escrever:

α 1 u 1 + α 2 u 2 + λ 2 u 1 + … + α n u n + λ n u 1 = 0

Isolando os vetores,

α 1 + α 2 λ 2 + … + α n λ n u 1 + α 2 u 2 + … + α n u n = 0     ( i )

Agora, vamos usar a nossa tese, que seria u 1 , … , u n é linearmente independente. Com isso, temos que:

β 1 u 1 + β 2 u 2 + … + β n u n = 0     ( i i )

Sendo β 1 ,   β 2 ,   … ,   β n iguais a zero.

Comparando ( i ) com i i percebemos que

β 1 = α 1 + α 2 λ 2 + … + α n λ n = 0 β 2 = α 2 = 0 … β n = α n = 0

Como α 2 = … = α n = 0 , α 1 = 0 .

Com isso, provamos que u 1 ,   u 2 + λ 2 u 1 ,   … ,   u n + λ n u 1 é L I !

Resposta

u 1 , … , u n é linearmente independente ) u 1 ,   u 2 + λ 2 u 1 ,   … ,   u n + λ n u 1 é linearmente independente