Se é um conjunto qualquer de escalares e são vetores de um espaço vetorial , então as seguintes condições são equivalentes:
(a) é linearmente independente.
(b) é linearmente independente.
Passo 1
Vamos começar com a letra (a)!
Para provar essa letra, vamos usar o que está sendo afirmado na letra (b). Reparem que podemos fazer isso, já que o enunciado diz que as condições são equivalentes.
Então, se é linearmente independente, podemos escrever:
Para deixar nossa equação mais organizada, faremos:
Assim,
Agora o que estamos tentando provar é que, por hipótese, se é linearmente independente, decorre que também é linearmente independente!
Tá, mas como faremos isso??
Primeiro, vamos supor que é linearmente independente. Logo,
De , tiramos
Substituindo em :
Isolando os vetores,
E, como é linearmente independente, temos:
Com isso, a única solução do sistema é
E, provamos que é linearmente independente!
Passo 2
Passo 3
N a letra (b), podemos interpretar o enunciado da seguinte forma: “Se é linearmente independente, então é linearmente independente”.
Logo, se é linearmente independente, podemos escrever:
Isolando os vetores,
Agora, vamos usar a nossa tese, que seria é linearmente independente. Com isso, temos que:
Sendo iguais a zero.
Comparando com percebemos que
Como , .
Com isso, provamos que é !
Resposta
é linearmente independente ) é linearmente independente