A questão da era: “Sejam vetores de . Suponha que são vetores linearmente independentes e que . Os vetores são linearmente independentes? Justifique.” A resposta do Joãozinho foi:

1. Escreva a definição de .
2. Qual hipótese do enunciado da questão o Joãozinho não usou? Dê um exemplo onde, sem essa hipótese são linearmente dependentes
3. Escreva uma demonstração correta e completa que os vetores são linearmente independentes começando por:

“Sejam escalares tais que ”

Letra b)

Joãozinho não usou a hipótese de que são vetores linearmente independentes.

Sem essa hipótese poderíamos ter ou .

Vamos pegar três vetores :

Como é de  e  , os vetores são , o que está ok já que a hipótese de que são vetores linearmente independentes foi descartada.

Agora vamos considerar a hipótese de que . Com isso, temos que pegar um quarto vetor qualquer que não pertença ao espaço gerado por . Assim,

Logo, o nosso conjunto fica:

E esse conjunto é !

Só para você ter certeza de que o conjunto é , vamos abrir o sistema:

Logo, o conjunto é !

Letra c)

Antes de tudo, vamos separar nossas hipóteses e teses:

Hipótese: são vetores e

Tese: são linearmente independentes

Partindo da tese:

Deste modo estamos escrevendo como dos demais vetores, então , então o mesmo podemos afirmar para (Lembre-se que se o espaço gerado fosse deslocado, o vetor poderia ter perfurado o espaço gerado enquanto o , um múltiplo menor que tocaria com a pontinha de seu vetor exatamente no espaço gerado. Pense no espaço gerado como um plano para visualizar melhor). Entretanto, sabemos por hipótese que , logo o único jeito daquela equação ser verdadeira é com :

Agora, fica muito fácil! Lembra que o enunciado disse que : são vetores ? Então agora basta aplicar isso, então podemos dizer que .

E como achamos que , o conjunto é .