Se é uma transformação linear, qual das alternativas abaixo é verdadeira?
Podemos ter linearmente dependentes e linearmente independentes.
Se são linearmente dependentes, então são linearmente dependentes.
Se são linearmente independentes, então são linearmente independentes.
Se são linearmente independentes, então são linearmente independentes.
Passo 1
Vamos analisar letra por letra:
Como o conjunto é , temos o seguinte:
Ou seja, é combinação linear de vetores quaisquer do conjunto. O conjunto é obtido aplicando-se a transformação em todos os vetores do conjunto . Então, se aplicarmos nos dois lados da equação teremos:
Ou seja, o vetor se torna combinação linear dos vetores . Então o conjunto continua ! Essa é falsa.
Passo 2
Imagine que são . E que a transformação leva todos os vetores no zero. Então o conjunto será igual a que é .
Opa, temos , mas então essa letra é falsa.
Passo 3
É só usarmos como a transformação nula de novo. Temos , mas . Falsa.
Passo 4
Só sobrou essa então é a verdadeira :p
A prova dela é parecida com a da mas como essa prova é de múltipla escolha não vale a pena provar aqui.
Resposta
Letra