Exercícios de Dependência Linear e Proposições - Lista de Exercícios Resolvida

Prove que: se é , então é .

Verifique que é um conjunto e torne o conjunto .

Se é um conjunto qualquer de escalares e são vetores de um espaço vetorial , então as seguintes condições são equivalentes:

(a) é linearmente independente.

(b) é linearmente independente.

Escolha uma opção. Dizer que é é o mesmo que dizer que:

1. Se , então
2. para todo
3. Se , então
4. para todo
5. não é múltiplo de se

Prove que, se um conjunto de vetores for , podemos escrever um dos vetores como combinação linear dos demais.

Prove que: se é e , então é .

A questão da era: “Sejam vetores de . Suponha que são vetores linearmente independentes e que . Os vetores são linearmente independentes? Justifique.” A resposta do Joãozinho foi:

1. Escreva a definição de .
2. Qual hipótese do enunciado da questão o Joãozinho não usou? Dê um exemplo onde, sem essa hipótese são linearmente dependentes
3. Escreva uma demonstração correta e completa que os vetores são linearmente independentes começando por:

“Sejam escalares tais que ”

Considere as seguintes afirmações sobre vetores arbitrários de :

I. A igualdade é necessariamente válida

II. Se , então

III. Se é linearmente independente e , então é uma base positiva

Está correto o que se afirma em

a) I,II e III

b) III, apenas

c) I e III, apenas

d) II, apenas

e) II e III, apenas

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(a) Se é um conjunto de vetores de que contém o vetor nulo, então é um conjunto linearmente dependente.

c) Se } é um subconjunto de um espaço vetorial, então

também é

Considere os vetores , e e a matriz

Onde cada representa um escalar qualquer. (Observação: dois ’s podem representar valores distintos.)

I – Se é LI, então as colunas de A são LI.

II – Se é LD, então as colunas de A são LD.

(a) I é falsa e II é falsa.

(b) I é falsa e II é verdadeira.

(c) I é verdadeira e II é verdadeira.

(d) I é verdadeira e II é falsa.

Sejam vetores não nulos e e pontos do espaço . Considere o sistema de equações:

Na incógnita e as seguintes afirmações:

se e , então o sistema não tem solução;

se e , então o sistema tem infinitas soluções;

se , então o sistema tem uma única solução.

Assinale a alternativa correta:

apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;

apenas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

apenas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;

todas as afirmações são necessariamente verdadeiras.

3. Seja A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores , , pertencentes a e cujo determinante é igual a zero. Assinale a alternativa VERDADEIRA.

(a) A dimensão do espaço gerado por é .

(b) é linearmente independente.

(c) Se for um conjunto ortogonal de vetores, então um deles é o vetor nulo.

(d) Um dos produtos internos: , ou é igual à zero.

(e) Não sei.

Considere abaixo:

Sabendo-se que é linearmente dependente, considere as afirmativas abaixo:

Pode-se afirmar que é linearmente dependente.

Pode-se afirmar que é linearmente dependente.

a) é falsa e é verdadeira.

b) é verdadeira e é falsa.

c) é verdadeira e é verdadeira.

d) é falsa e é falsa.

e) Não sei.

Em Mecânica, se são forças aplicadas, respectivamente, a pontos , define-se o momento desse sistema forças em relação a um ponto como sendo o vetor dado por:

Considere o sistema formado pelas forças

Aplicadas, respectivamente, aos pontos

E seja o momento desse sistema de forças em relação a um ponto . Assinale a alternativa correta:

existe um ponto tal que

o módulo do vetor é independente do ponto

para qualquer ponto , o vetor é uma combinação linear de e

se é um ponto que minimiza o módulo de , então não é uma combinação linear de e

se é um ponto que minimiza o módulo de , então e é uma combinação linear de e

Se é uma transformação linear, qual das alternativas abaixo é verdadeira?

Podemos ter linearmente dependentes e linearmente independentes.

Se são linearmente dependentes, então são linearmente dependentes.

Se são linearmente independentes, então são linearmente independentes.

Se são linearmente independentes, então são linearmente independentes.

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(a) Se e são vetores de tais que o conjunto é (Linearmente Dependente), então .

(b) Se e são vetores de tais que o conjunto é (Linearmente Independente), então