USP – Álgebra Linear – P2 2019 – Questão 3
Considere as seguintes afirmações sobre vetores arbitrários de :
I. A igualdade é necessariamente válida
II. Se , então
III. Se é linearmente independente e , então é uma base positiva
Está correto o que se afirma em
a) I,II e III
b) III, apenas
c) I e III, apenas
d) II, apenas
e) II e III, apenas
Passo 1
Fala galera, tudo tranquilo?
Vamos lá que essa vai ser de analisar afirmações. Temos 3 afirmações diferentes, e queremos verificar quais são verdadeiras.
Então vamos lá analisar uma a uma, ok??
Passo 2
A primeira afirmação fala que “A igualdade é necessariamente válida”.
Galera, sabemos que representa o produto misto entre os vetores . Nos dois casos, estamos fazendo , afinal, não trocamos nenhum vetor de lugar
Então realmente, a igualdade é verdadeira em qualquer situação. Isso sempre vai ser o determinante de uma matriz com nas linhas, fechou?
Então a primeira afirmação é verdadeira 😉
Passo 3
A segunda afirmação fala que “Se , então ”
Então vamos lá calcular esse produto misto pra ver se isso é verdade
Podemos dividir em vários mini produtos:
Quando temos um produto misto em que um vetor se repete, ele vai valer 0, ok? Então:
Colocando as constantes pra fora:
Mas e (pois aqui não trocamos a ordem circular )
Opa, então
Eitaaa! Então independente de quem for , e , o produto misto sempre vai ser 0! Isso acontece porque esses 3 vetores sempre vão ser coplanares 😉
Então, a afirmação 2 é falsa ok?
Passo 4
Por fim, a terceira afirmação fala que “Se é linearmente independente e , então é uma base positiva”
Isso vai ser verdade galera, porque o vetor vai seguir a regra da mão direita de para . Como é o primeiro vetor da base, isso vai ser uma base positiva
Então a afirmação 3 também é verdadeira, fechou?
Logo, a alternativa correta é a letra C 😊
Resposta
c) I e III, apenas