Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Proposições

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Enunciado

Considere α ⊂ R 3 ,   β ⊂ R 4 ,   γ ⊂ R 4 abaixo:

α = x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   y 1 ,   y 2 ,   y 3 ,   z 1 ,   z 2 ,   z 3

β = x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   0 ,   y 1 ,   y 2 ,   y 3 ,   0 ,   z 1 ,   z 2 ,   z 3 ,   0

γ = x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   1 ,   y 1 ,   y 2 ,   y 3 ,   1 ,   z 1 ,   z 2 ,   z 3 ,   1

Sabendo-se que α é linearmente dependente, considere as afirmativas abaixo:

( I ) Pode-se afirmar que γ é linearmente dependente.

I I Pode-se afirmar que β é linearmente dependente.

a) ( I ) é falsa e ( I I ) é verdadeira.

b) ( I ) é verdadeira e ( I I ) é falsa.

c) ( I ) é verdadeira e ( I I ) é verdadeira.

d) ( I ) é falsa e ( I I ) é falsa.

e) Não sei.

Passo 1

Cara, o enunciado falou pra gente que α é LD não foi?

Bom, de α pra β , a única coisa que fizemos foi acrescentar o 0 em todos os vetores do conjunto, e você concorda comigo que o 0 não ta fazendo diferença no vetor? Ou seja, o conjunto β também é LD, pois é basicamente “igual” ao conjunto α .

Já no conjunto γ , nós acrescentamos o 1 , e não podemos afirmar se o conjunto vai ser LI ou LD, pois o 1 faz diferença no vetor e não conhecemos as outras coordenadas para fazermos o cálculo.

Então, a afirmativa ( I ) é falsa e a ( I I ) é verdadeira :P

Resposta

a) ( I ) é falsa e ( I I ) é verdadeira.