Álgebra linear I, USP, P2, 2016, Questão 10
Sejam vetores não nulos e e pontos do espaço . Considere o sistema de equações:
Na incógnita e as seguintes afirmações:
se e , então o sistema não tem solução;
se e , então o sistema tem infinitas soluções;
se , então o sistema tem uma única solução.
Assinale a alternativa correta:
apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;
apenas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
apenas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;
todas as afirmações são necessariamente verdadeiras.
Passo 1
Falaaa, blzz?? Bora lá para mais um probleminha. Nessa questão vamos analisar alternativa por alternativa.
se e , então o sistema não tem solução;
A ideia aqui será escolher um e um e forçar que a primeira equação seja verdadeira, depois pensamos se existiria um e que faz a segunda da certa.
Bora lá, tomando ,
Nesse caso temos que , ou seja:
Por LaPlace
Ou seja
E por isso temos
Agora vamos olhar para a segunda e ver se existe e
Primeiro, sabemos que uma vez que , ou seja, podemos tomar e por exemplo, lembrando que , nesse caso teremos:
Ou seja, achamos pontos e vetores que fazem o sistema possuir solução, no caso para os pontos e vetores, temos solução.
Passo 2
Agora bora para o próximo, bora notar que o sistema se resumi a
Uma vez que .
Porém, temos uma propriedade sobre produto vetorial que é:
Aplicando isso na primeira equação:
Colocando isso na segunda equação:
Podemos ver que
Ou seja, a equação é sempre verdadeira, independe de , pois .
Por isso, como temos fixos, quaisquer e conseguimos ver que existirá infinitos valores para , cada um variando dependendo de e como o sistema dá certo para qualquer podemos variar o quanto quiser, por isso temos infinitas soluções e a afirmação tá correta.
Passo 3
Agora vamos para a última afirmação
se , então o sistema tem uma única solução.
Bora usar novamente que se , ou seja:
e por isso
Olhando a segunda equação, temos que:
Usando a informação achada:
Temos que , ou seja:
Usando propriedades de produto interno:
Ou seja, temos que:
Como fixos e temos que é único, ou seja, podemos ver que:
Será único e determinado, unicamente, pelos valores fixados. Por isso a afirmação é verdadeira.
Assim terminamos com mais um probleminha, bora para o próximo?
Resposta
Letra C