Prove que: se é e , então é .
Passo 1
Vamos com calma, separe em hipóteses e tese a sua proposição.
Hipóteses: é e
Tese: é
Se temos que provar nossa tese, temos que achar os coeficientes dos vetores todos iguais a zero, e somente zero. (Repare que são apenas 3 vetores!)
Passo 2
Após ter feito isso, vamos equacionar nossa tese. Para isso, vamos aplicar a definição de .
Lembre-se que o objetivo é achar . Agora, vamos juntar os vetores iguais:
Passo 3
Agora está na hora de começar a aplicar nossas hipóteses. Vamos rearrumar a equação:
Repare na hipótese: . Para pertencer de fato ao espaço gerado, ele tem que ser escrito como uma dos demais vetores do explicitado. Eu sei que não pertence, mas vamos tentar fazer com que ele pertença e chegar em alguma incoerência.
Passo 4
Assim, está escrito como uma dos demais vetores.
OBS: SE UM MÚLTIPLO DE PERTENCE À UM , TODOS OS SEUS MÚLTIPLOS TAMBÉM PERTENCEM. Tente ver um como um espaço gerado não deslocado. Isto significa, portanto, que .
Pera aí!!!!!!!!!!!!! Mas a hipótese dizia que ele NÃO PERTENCIA! Eu sei disso e era exatamente aonde eu queria chegar. Chegamos em uma incoerência, mas temos que fazer a hipótese ser verdadeira, e isso só é possível para .
Passo 5
Assim ficamos com:
Pela outra hipótese, temos que é , e é exatamente o que temos aqui!
Então podemos afirmar com isso que:
E, portanto, é .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)