Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Proposições

Ver Teoria
Exercício 1012345678911121314151617

Enunciado

UFPE, Álgebra Linear, 1 a EE -2017.1, Questão 2c

c) Se { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } é um subconjunto L I de um espaço vetorial, então { v 1 –   v 2 ,   v 2 - v 3 ,   v 3 }

também é L I

Passo 1

Vamos tentar manipular isso aí usando a definição de independência linear:

Se um conjunto { u 1 , u 2 , … , u n } for L I , então a combinação linear que leva ele no vetor nulo,

( α 1 u 1 + α 2 u 2 + … + α n u n = 0 ) vai ter seus coeficientes sempre iguais a zero ( α 1 = α 2 = … = α n = 0 ) .

Ou seja, vamos tentar achar a combinação linear desse conjunto   { v 1 –   v 2 ,   v 2 - v 3 ,   v 3 } que gera o vetor nulo.

Passo 2

a v 1 –   v 2 + b v 2 - v 3 + c v 3 = 0

Fazendo as distributivas:

a v 1 - a v 2 + b v 2 - b v 3 + c v 3 = 0

Agora vou reorganizar agrupando de uma forma diferente:

a v 1 + b - a v 2 + c - b v 3 = 0

Reparem que eu fiz isso porque agora tenho uma combinação linear de { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } igualada ao vetor nulo. Como o enunciado nos disse que esse conjunto é L I , podemos afirmar que os coeficientes são iguais a zero.

Tenho então:

a = 0 b - a = 0 c - b = 0

Isso me dá que a = 0 ,   b = 0 ,   c = 0 .

E a , b , c   são os coeficientes da combinação linear de   { v 1 –   v 2 ,   v 2 - v 3 ,   v 3 } igualada ao vetor nulo, ou seja, por serem 0, provamos o conjunto é L I   e portanto, a afirmativa é verdadeira.

Resposta

Verdadeira