Considere os vetores , e e a matriz
Onde cada representa um escalar qualquer. (Observação: dois ’s podem representar valores distintos.)
I – Se é LI, então as colunas de A são LI.
II – Se é LD, então as colunas de A são LD.
(a) I é falsa e II é falsa.
(b) I é falsa e II é verdadeira.
(c) I é verdadeira e II é verdadeira.
(d) I é verdadeira e II é falsa.
Passo 1
Vamos lembrar que para o conjunto ser LD, um dos vetores pelo menos tem que ser CL dos demais.
Vamos supor então que o conjunto é LD e:
Substituindo os vetores pelas coordenadas:
Escrevendo em colunas, vamos ter:
Ou seja, uma coluna é CL da outra!
Visto isso, vamos analisar as afirmativas.
Passo 2
I – Se é LI, então as colunas de A são LI.
A matriz A é essa aqui:
Se for LI, aquilo que vimos no passo 1 não se aplica, ou seja, uma coluna não vai ser CL da outra.
Então, a matriz A que é formada pelos vetores nas colunas mais alguns quadradinhos entre eles nas linhas não vai poder ter as colunas LD, independente dos valores dos escalares nos quadradinhos!
Logo, as colunas de A vão ser LI e a afirmativa é verdadeira.
Passo 3
II – Se é LD, então as colunas de A são LD.
Isso não necessariamente é verdade, pois apesar de termos as colunas com os coeficientes LD, como vimos no passo 1, pode ser que os escalares que estejam escondidos nos quadradinhos não sejam proporcionais a partir da mesma relação.
Isso é, não necessariamente:
Pois apesar de:
Pode ser que:
Nesse caso, as colunas não vão ser LD e a afirmação é falsa.
Resposta
(d) I é verdadeira e II é falsa.