PUCRIO, Álgebra Linear I, G1-2017.2, Questão 4a, b
Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.
(a) Se e são vetores de tais que o conjunto é (Linearmente Dependente), então .
(b) Se e são vetores de tais que o conjunto é (Linearmente Independente), então
Passo 1
- Se e são vetores de tais que o conjunto é (Linearmente Dependente), então .
Bom para 2 vetores formarem um conjunto é preciso que um seja combinação linear do outro. Como são apenas 2 vetores, um tem que ser múltiplo do outro.
Assim posso chamar de e fazer . Dessa forma, como o k é um escalar, posso passar para fora do produto vetorial, ficando .
Agora já sabemos a resposta, aprendemos nas propriedades do produto vetorial, que o produto de um vetor por ele mesmo sempre será zero, logo, essa afirmativa é verdadeira.
Passo 2
(b) Se e são vetores de tais que o conjunto é (Linearmente Independente), então
Essa afirmativa é falsa, os vetores que tem produto interno igual a zero são ortogonais e todos os vetores ortogonais são , mas a recíproca não é verdadeira!! Vou pegar dois vetores (que não são múltiplos um do outro) pra mostrar pra vocês do que eu tô falando:
e
Resposta
- Verdadeiro
- Falso