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Exercícios Resolvidos de Diferencial de uma Função de Várias Variáveis

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Exercício 2134567891011

Enunciado

Calcule a diferencial:

  1. w = x y z
  2. x = e 2 u + 2 v - t 2
  3. w =   x 2 + y 2 1 + z 2
  4. s = 1 + x 2 y z

Passo 1

  1. A primeira coisa a fazer para calcular a diferencial de uma função, é encontar essa função. O problema já a fornece claramente:

    2. w = x y z

    Então sabemos que:

    d w = ∂ w ∂ x d x + ∂ w ∂ y d y + ∂ w ∂ z d z

    Vamos calcular as derivadas parciais

    Passo 2

    Calculando ∂ w ∂ x temos:

    ∂ w ∂ x = y z

    Calculando ∂ w ∂ y temos:

    ∂ w ∂ y = x z

    Calculando ∂ w ∂ z temos:

    ∂ w ∂ z = x y

    Passo 3

    Agora é só substituir na equação :

    d w = y z d x + x z d y + x y d z

    Passo 4

  2. Vamos seguir o mesmo passo a passo do item a). A função já é conhecida:

    3. x = e 2 u + 2 v - t 2

    Perceba que x é função de u , v , t . Então, a diferencial será:

    d x = ∂ x ∂ u d u + ∂ x ∂ v d v + ∂ x ∂ t d t

    Passo 5

    Calculando ∂ x ∂ u temos:

    ∂ x ∂ u = 2 e 2 u + 2 v - t 2

    Calculando ∂ x ∂ v temos:

    ∂ x ∂ v = 2 e 2 u + 2 v - t 2

    Calculando ∂ x ∂ t temos:

    ∂ x ∂ t = - 2 t e 2 u + 2 v - t 2

    Passo 6

    Agora é só substituir na equação :

    d x = 2 e 2 u + 2 v - t 2 d u + 2 e 2 u + 2 v - t 2 d v - 2 t e 2 u + 2 v - t 2 d t

    Passo 7

  3. A função é:

    4. w =   x 2 + y 2 1 + z 2

    Então, a diferencial será:

    d w = ∂ w ∂ x d x + ∂ w ∂ y d y + ∂ w ∂ z d z

    Passo 8

    Calculando ∂ w ∂ x :

    Lembre-se de que estamos derivando apenas em relação a x . Todas as outras variáveis são tratadas como ”constantes” na hora de derivar.

    ∂ w ∂ x = 2 x 1 + z 2

    Calculando ∂ w ∂ y temos:

    ∂ w ∂ y = 2 y 1 + z 2

    Calculando δ w δ z :

    Perceba que w = x 2 + y 2 1 + z 2 = x 2 + y 2 1 + z 2 - 1 . Então temos:

    ∂ w ∂ z = x 2 + y 2 - 1 1 + z 2 - 2 2 z = - 2 z x 2 + y 2 1 + z 2 2

    Passo 9

    Agora é só substituir na equação :

    d w = 2 x 1 + z 2 d x + 2 y 1 + z 2 d y - 2 z x 2 + y 2 1 + z 2 2 d z

    Passo 10

  4. A função é:

s = 1 + x 2 y z

Então, a diferencial será:

d s = ∂ s ∂ x d x + ∂ s ∂ y d y + ∂ s ∂ z d z

Passo 2

Calculando ∂ s ∂ x :

Perceba que ∂ ( f x c ) ∂ x , onde c é uma constante, é: c f x c - 1 f ' x . No caso temos:

∂ s ∂ x = y z 1 + x 2 y z - 1 ( 2 x )

Calculando ∂ s ∂ y temos:

Lembre-se de que δ ( c f y ) δ y , onde c é uma constante, é: c f y ln ⁡ c f ' y

∂ s ∂ y = 1 + x 2 y z l n ⁡ ( 1 + x 2 ) ( z )

Calculando ∂ s ∂ z :

∂ s ∂ z = 1 + x 2 y z l n ⁡ ( 1 + x 2 ) ( y )

Passo 3

Agora é só substituir na equação :

d s = 2 x y z 1 + x 2 y z - 1 d x + z ln ⁡ 1 + x 2 1 + x 2 y z d y + y ln ⁡ 1 + x 2 1 + x 2 y z d z

Resposta

  1. d w = y z d x + x z d y + x y d z
  2. d x = 2 e 2 u + 2 v - t 2 d u + 2 e 2 u + 2 v - t 2 d v - 2 t e 2 u + 2 v - t 2 d t
  3. d w = 2 x 1 + z 2 d x + 2 y 1 + z 2 d y - 2 z x 2 + y 2 1 + z 2 2 d z
  4. d s = 2 x y z 1 + x 2 y z - 1 d x + z ln ⁡ 1 + x 2 1 + x 2 y z d y + y ln ⁡ 1 + x 2 1 + x 2 y z d z

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