Se é a resistência equivalente de três resistores conectados em paralelo, com valores , , , então Se as três resistências medem , com precisão de em cada uma, estime o erro máximo no cálculo da resistência equivalente de .
Passo 1
Opa, escutou erro máximo? Então essa parada vai ter equação diferencial! Lembra dela? Se vc tem uma função a diferencial dela vai ser dada por:
Então, colocando na nossa função ...
Em que cada e são os erros das medidas!
Passo 2
Ótimo, agora que temos a parada equacionada, é só resolver as derivadas parciais da função . Para isso, vamos dar uma ajeitadinha nela, porque o que temos mesmo é . Para isso, vamos ter que usar o menor múltiplo comum nos denominadores, que nada mais é que . Fica assim:
Multiplicando em cima e embaixo pelo o que falta para os denominadores virarem ...
Isso vira...
Trocando os termos cruzados....
Substituindo os valores, teremos que
Conseguimos! Agora sim podemos continuar!
Passo 3
Vamos resolver as derivadas parciais em relação a , e ? Para isso, usaremos a regra do quociente: se . Agora é só fingir que é a nossa função
Ficou feio demais, né? Mas vamos abrir essa expressão multiplicando os termos de cima pra ver se ajuda....
Cortando os termos que se anulam, fica:
Beem mais bonito, né?
Agora vem o pulo do gato... Você percebeu que essa expressão é quase idêntica à equação do ? Ela só está ao quadrado!
e
Vamos então, para encontrarmos a expressão mais simples possível para a nossa derivada parcial, temos que multiplicar por em cima e embaixo, na equação da derivada mesmo. Fica assim:
Ok, multiplicando em cima e embaixo nada se altera. Mas agora podemos usar a nossa equação da função ! Olha que lindo:
Isso nada mais é (olhe bem para a equação do ) que
Como e , teremos que
Passo 4
Sim, é exatamente o que você está pensando... Ainda temos que fazer todas essas contas para encontrar as derivadas parciais em relação e a hahahaha mas relaxa! Vai dar tudo muito parecido com o que fizemos pra derivada em relação a !
Usando a regra do quociente novamente, teremos:
Abrindo a parte de cima da fração teremos:
Cortando os termos opostos do numerador....
E, finalmente, multiplicando por em cima e embaixo pra podermos usar a expressão de :
Como e temos que...
Passo 5
Agora só falta pro ! Segura mais um pouquinho que teremos tudo o que precisamos pra descobrir o erro máximo!
Derivando em relação a ...
Multiplicando a expressãodo numerador....
Cortando os termos opostos...
E, agora, colocando em cima e embaixo para usarmos a expressão de :
Como e , teremos
Passo 6
Está pronto! Agora teremos o prazer de ver o tão suado resultado! Basta a gente pegar a equação da diferencial:
Substituir os valores das derivadas...
Substituir os valores das resistências multiplicadas pelo erro de medida...
Podemos colocar o erro em evidência, por questões estéticas XD
Agora, simplificamos, cada um dos parêntesis...
O que nos leva a:
Ora, mas e múltiplo de , e é múltiplo de 17, que, por sua vez, é ! Sim, é zoado, mas ainda dá pra simplificar mais! Olha só:
Finalmente, encontramos o erro máximo!
Resposta
O erro vale