UFSCAR – Cálculo 2 – Banco de Questões – Questão 3
Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0,04 cm
Para isso considere
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
O enunciado pediu a quantidade de estanho em uma lata, usando diferenciais! Bom, o erro do volume (por causa da espessura da lata) pode ser calculado pelo diferencial das variáveis que compõem a fórmula do volume.
O volume de um sólido que não afina em cima é: Área da base x Altura. Sim, simples assim.
Aí como um cilindro tem área da base um círculo, a expressão pro volume é:
Daí a derivada do volume em relação ao raio é:
E a derivada do volume em relação a altura é:
Daí o diferencial total do volume é:
Beleza até aqui?
Passo 2
Agora vamos pensar uma coisa: a espessura do raio é contada apenas uma vez, que é o entorno da lata; agora a altura é contada duas vezes, pois temos perda pela tampa e pelo fundo da lata. Assim o valor de é igual a 1x a espessura do estanho e é 2x.
O valor da altura é e do raio é . Vamos considerar . Agora é só substituir esses valores no diferencial do volume:
Passo 3
Assim o volume de estanho é igual ao erro do volume que acabamos de calcular:
Certo?
Vamos pra próxima?