UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 3, exercício 30.
Em um setor circular, o ângulo central é e o raio é . Reduzindo-se o ângulo de , qual deve ser o acréscimo no raio para que a área fique aproximadamente inalterada?
Lembrete: área do setor circular, em radianos.
Passo 1
Como esse lembrete nos lembra (risos), a área do setor circular é dada por:
Vamos calcular o diferencial de área desse setor circular.
E, como esse diferencial representa o erro da função área, para que a área fique aproximadamente inalterada, queremos que esse erro seja igual a zero. Assim, podemos descobrir quem é o acréscimo no raio, dado que o ângulo já foi reduzido de , ou seja, .
Sacou? Porque na fórmula da área, o está em radianos, então temos que transformar em radianos. E é negativo porque foi uma redução.
Passo 2
Então vamos lá. Comecemos calculando as derivadas parciais da função.
Já sabemos que e
(pois ).
Passo 3
Otimo, agora que já temos tudo o que precisamos, vamos substituir na formula do e fazê-lo ser igual a zero.
Assim
Ou seja, reduzindo-se o ângulo de , o raio deve ser acrescido de para que a área fique aproximadamente inalterada.
Resposta
Reduzindo-se o ângulo de , o raio deve ser acrescido de para que a área fique aproximadamente inalterada.