A equação de Euler

x 2 y ' ' - α x y ' + β y = 0

Onde α e β são constantes, não tem pontos singulares.

Escolha uma opção:

Verdadeiro ou Falso?

Passo 1

E aí galerinha, como vocês estão por aí?

Pegamos essa questão de séries e equações diferenciais e nós vamos destruir do jeitinho Responde Aí!

O enunciado nos deu a equação de Euller e disse que não tem pontos singulares, você concorda??? Nãaao, essa informação é muito falsa! Basta lembrarmos que a própria equação de Euller é uma equação diferencial considerada relativamente simples e que tem sim ponto singular!! Nossa questão poderia acabar aqui, mas tem como provarmos isso também, então bora lá pro próxima passo!

Passo 2

A condição para que x 0 seja um ponto singular para a equação diferencial

y ' ' + P ( x ) y ' + Q ( x ) y = 0

É de que

x - x 0 P ( x ) seja analítica em x 0 e

x - x 0 2 Q ( x ) seja analítica em x 0 .

Ou sejaaa, a singularidade dos coeficientes P ( x ) e Q ( x ) pode ser removida pela multiplicação, respectivamente, por x - x 0 e x - x 0 2 .

Passo 3

Ahh beleza, entendemos a teoria, né? Agora vamos provar que isso é verdade para a equação de Euller!

Criando a hipótese de que x 0 = 0 é um ponto singular regular para a equação de Euller, vamos começar a resolver esse probleminha.

x 2 y ' ' - α x y ' + β y = 0

A ideia é reduzir a equação à forma canônica dividindo por x 2 , temos P x = α x e Q x = β x 2 . E as singularidade aqui podem ser removidas por multiplicação.

x P x = α e x 2   Q x = β

Ou sejaaa, esse estudo da equação de Euller nos mostra que existe solução da forma y = x r , r não necessariamente inteiro. Portanto, existe ponto singular na equação de Euller!!

E aí, curtiu a resolução? Responde Aí

Resposta

Falso

Exercícios Resolvidos de Equação de Euler de Ordem Superior

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