UFSCAR – Sem campus; Séries e Equações Diferenciais; Simulado 14 2021.1; questão 1
A equação de Euler
Onde e são constantes, não tem pontos singulares.
Escolha uma opção:
Verdadeiro ou Falso?
Passo 1
E aí galerinha, como vocês estão por aí?
Pegamos essa questão de séries e equações diferenciais e nós vamos destruir do jeitinho Responde Aí!
O enunciado nos deu a equação de Euller e disse que não tem pontos singulares, você concorda??? Nãaao, essa informação é muito falsa! Basta lembrarmos que a própria equação de Euller é uma equação diferencial considerada relativamente simples e que tem sim ponto singular!! Nossa questão poderia acabar aqui, mas tem como provarmos isso também, então bora lá pro próxima passo!
Passo 2
A condição para que seja um ponto singular para a equação diferencial
É de que
seja analítica em e
seja analítica em .
Ou sejaaa, a singularidade dos coeficientes e pode ser removida pela multiplicação, respectivamente, por e .
Passo 3
Ahh beleza, entendemos a teoria, né? Agora vamos provar que isso é verdade para a equação de Euller!
Criando a hipótese de que é um ponto singular regular para a equação de Euller, vamos começar a resolver esse probleminha.
A ideia é reduzir a equação à forma canônica dividindo por , temos e . E as singularidade aqui podem ser removidas por multiplicação.
e
Ou sejaaa, esse estudo da equação de Euller nos mostra que existe solução da forma , não necessariamente inteiro. Portanto, existe ponto singular na equação de Euller!!
E aí, curtiu a resolução? Responde Aí
Resposta
Falso