Resolva a seguinte EDO:
Passo 1
Primeira coisa a ser feita é perceber que isso é uma equação de Euler. Então vamos supor a solução da forma:
Passo 2
Calculando as derivadas:
Passo 3
Substituindo na EDO temos:
Ajeitando:
Portanto, temos de resolver:
Passo 4
Como encontrar as raízes dessa equação??!
Vamos ver alguns candidatos a raízes dessa equação.
Qual o coeficiente do maior grau dessa equação? Neste caso vai ser , vamos chamar isso de
Qual o valor do cara sem a variável ? Vai ser , vamos chamar isso de
As possíveis raízes vão ser os divisores de sobre os divisores de , lembrando que para cada possibilidade vamos ter o cara podendo ser positivo ou negativo.
Nesse caso, os divisores de são: .Os divisores de são . Logo as possíveis raízes são:
Passo 5
Então temos que testar essas raízes na equação, como fazemos isso? É só substituir o valor na equação e ver se vai dar , se der o valor de é raiz, se não der ele não é raiz.
Testando cada um desses números, verificamos que são raízes. Tivemos sorte, porque apenas procurando entre esses valores já encontramos todas as raízes da equação. Caso encontrássemos apenas uma raiz, o próximo passo seria utilizar o método de briot-ruffini para encontrar as outras raízes.
Enfim temos as raízes:
Passo 6
Como as raízes são distintas a solução fica: