Calculo 3 – UNICAMP – Exame
- Mostre que é um ponto singular-regular para a equação
- Encontre as raízes da equação indicial e a relação de recorrência associadas a equação acima em .
- Determine os quatro primeiros termos não-nulos de uma solução por série da equação diferencial dada na forma
Com r sendo a maior raiz da equação indicial.
Passo 1
Vamos lá, começando pela letra a)!
Temos que mostrar que o ponto é um ponto singular-regular para a EDO . Bom, se a questão pede para demonstrarmos isto, nós começamos com um pequeno problema: afinal, o que é um ponto singular-regular???
Vamos por etapas então! Seja uma EDO dada por:
Percebam que a nossa EDO está no formato acima. Basta fazer , e . Continuando, um ponto singular (apenas singular) é aquele no qual:
Portanto, para a nossa questão, temos:
E assim provamos que o ponto é um ponto singular!
Passo 2
Continuando a resolução da letra a), só nos resta demonstrar que o ponto é regular também! Mas como faremos isto?
Bom, um ponto singular é dito regular se os seguintes limites existem:
Portanto, substituindo para o caso da nossa questão, temos:
Portanto sim! Os dois limites existem (não importa o valor aqui viu!)!! Assim, acabamos de demonstrar que o ponto é realmente um ponto singular-regular!
Passo 3
Agora temos que encontrar as raízes da equação indicial. Mas o que é essa equação? Como que obtemos ela???
Então, a equação indicial é uma , sendo que essa nossa é calculada por:
Eita! E esses e ? Só precisamos indentificá-los para resolver esse enigma!
E a solução é mais simples do que parece, pois, na verdade, nós já calculamos esses dois termos no Passo 2! Eles são:
Portanto, a nossa equação indicial é:
E agora é moleza, uma equação do segundo grau só!
E portanto, as raízes da nossa equação indicial são .
Passo 4
E agora, finalizamos a nossa letra b)? Nãooooo! Ainda falta encontrarmos a relação de recorrência para o ponto . Muito cuidado para não esquecerem essa parte da questão heim!
Para encontrarmos esta relação de recorrência, precisamos passar por algumas etapas. Serão cansativas, mas no final, muito repetitivo. Portanto, vamos com muita calma aqui!
Primeiro, precisamos lembrar que a solução da nossa EDO é da forma:
Derivando esta série duas vezes, temos:
Agora, vamos substituir estas relações na nossa próprie EDO. Com isto, temos:
Começando o último termo a partir de , para que o expoente de seja , temos:
Agora, temos que colocar todos os somatórios começando em . Para isto, vamos ter que abrir o primeiro termo das três primeiras séries. Portanto,
Ou melhor, colocando os termos e as séries em “evidência”, temos:
OBS: estão vendo o primeiro termo acima? Que multiplica o ? Ele é exatamente a nossa equação indicial. Só que podemos lembrar da relação lá do Passo 3 para determiná-la. Fica tudo mais fácil assim, não é?
Para obtermos a nossa relação de recorrência, basta fazermos o termo da nossa série ir para 0. Portanto,
Reorganizando-a, temos:
E esta é a relação de recorrência para o ponto .
Passo 5
Para finalizarmos a questão, precisamos determinar os quatro primeiros termos não-nulos de uma solução por série sendo a maior raiz da equação indicial.
Como encontramos duas raízes, e a maior raiz é , então, . Com isto, nossa equação de recorrência será:
Como temos um termo com raiz, fica um pouco difícil trabalharmos com esta série de recorrência e reescrevermos ela em função de . Então, vamos utilizar um artifício.
Nós não queremos calcular até o quarto termo da série? Então, vamos escrever apenas até ! Portanto,
Portanto, como a nossa EDO tem a seguinte solução,
Para , então, ao como é uma constante, assumindo o seu valor igual a 1, os quatro primeiros termos da série serão:
Resposta
- Demonstrado nos Passos 1 e 2;
- As raízes são e a relação de recorrência é:
- Os quatro primeiros termos não-nulos são: