UFSCAR – Sem campus; Séries e Equações Diferenciais; Simulado 14 2021.1; questão 4
A expansão em série de potências em torno de 0 da solução de com as condições inicias e , é
Obs: a resposta deve ser expressa na forma decimal com um erro máximo de 0,0005.
Passo 1
E aí galerinha, como vocês estão por aí?
Pegamos essa questão de séries e equações diferenciais e nós vamos destruir do jeitinho Responde Aí!
Nossa missão aqui é resolver a equação diferencial dada , sabendo que:
Então, também podemos escrever e :
E
Agora temos os termos necessários, vamos reescrever a equação diferencial com eles:
Desenvolvendo:
Passo 2
Agora temos que deixar todos os dentro dos somatórios, mudando o índice. Começando com:
Esse era o único que precisava ser mudado, repara que dessa vez temos o começando cem um cara negativo, não precisa se preocupar com isso, esse pode ser negativo neste caso porque quando substituirmos no somatório não vai dar problema nenhum.
Assim, a nossa EDO vai ficar:
Precisamos deixar todos os inícios no mesmo lugar, vamos começar todas com .
Juntando os somatórios temos:
Isso nos diz que
Além disso temos a relação de recorrência
Vamos ter
Com
Passo 3
Belezaa, continuando, vamos ver o que temos com as condições iniciais.
Vamos usar a relação de recorrência agora
Prontinhoo, encontramos que a expansão da série em potência é
E aí, curtiu a resolução? Responde Aí