Exercícios Resolvidos de Equação de Euler de Ordem Superior

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Enunciado

Nos exercício de 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea:

y ' ' ' + y ' ' - 2 y = 0

Passo 1

E lá vamos nós resolver mais essa EDO homogênea. Se colocarmos na forma da equação característica

r 3 + r 2 - 2 = 0

Vemos de cara que umas das raízes é

r = 1

Passo 2

A próxima coisa a fazer para encontrar as outras raízes, e diminuir o grau da nossa equação, usando o método de Briot-Ruffini. Lembra como funcionava?

r 3 + r 2 - 2 = 0

A primeira coisa a fazer é escrever essa equação completa, colocando 0 vezes o r elevado aos graus que não aparecem.

Agora montamos o seguinte quadrinho

No canto superior esquerdo colocamos os coeficientes da nossa equação, no canto superior direito colocamos o valor na nossa raiz.

Agora nós fazemos os seguintes passos. Primeiro descemos o primeiro coeficiente, que vai ficar

O próximo passo é multiplicar esse número que baixamos pelo número ali no canto superior direito, e depois somar com o próximo coeficiente.

Nesse caso fazemos

1 . 1 + 1 = 2

Esse primeiro 1 é o coeficiente, o 1 é nossa raiz ali no canto esquerdo, e aquele 2 é o próximo coeficiente.

Vamos achar 2 , colocamos esse valor embaixo do coeficiente 1 , ficando

Lembrou de Briot-Rufini né? Repetindo isso até terminar o método, vamos ficar com

Então nossa equação reduzida fica

r 2 + 2 r + 2 = 0

Passo 3

Entrando as raízes dessa nova equação

r 2 + 2 r + 2 = 0

∆ = 4 - 8 = - 4 < 0

Ficamos com

r = - 1 ± i

Passo 4

Por fim, precisamos encontrar a solução relacionada a cada uma das raízes que determinamos.

r = 1 ;         y = C 1 e x

r = - 1 ± i ;     y = C 2 e - x cos ⁡ x + C 3 e - x sen ⁡ x

Então a solução geral será:

y x = C 1 e x + C 2 e - x cos ⁡ x + C 3 e - x sen ⁡ x

y x = C 1 e x + e - x C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x

Resposta

y x = C 1 e x + e - x C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x

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