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Exercícios Resolvidos de Equação de Euler de Ordem Superior

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Exercício 21345678910111213

Enunciado

Resolva a seguinte EDO:

x 4   d 4 y d x 4 + 6 x 3 d 3 y d x 3 + 9 x 2 d 2 y d x 2 + 3 x d y d x + y = 0

Passo 1

Primeira coisa a ser feita é perceber que isso é uma equação de Euler. Então vamos supor a solução da forma:

y = x r

Passo 2

Calculando as derivadas:

d y d x = r x r - 1

d 2 y d x 2 = r r - 1 x r - 2

d 3 y d x 3 = r r - 1 r - 2 x r - 3

d 4 y d x 4 = r r - 1 r - 2 r - 3 x r - 4

Passo 3

Substituindo na EDO temos:

x 4   d 4 y d x 4 + 6 x 3 d 3 y d x 3 + 9 x 2 d 2 y d x 2 + 3 x d y d x + y = 0

x 4 r r - 1 r - 2 r - 3 x r - 4 + 6 x 3 r r - 1 r - 2 x r - 3 + 9 x 2 r r - 1 x r - 2 + 3 x r x r - 1 + x r = 0

Ajeitando:

x r r r - 1 r - 2 r - 3 + 6 r r - 1 r - 2 + 9 r r - 1 + 3 r + 1 = 0

Fazendo as contas vai ficar:

x r r 4 + 2 r 2 + 1 = 0

Temos de resolver:

r 4 + 2 r 2 + 1 = 0

Passo 4

r 4 + 2 r 2 + 1 = 0

Perceba que essa equação é o mesmo que:

( r 2 + 1 ) 2 = 0

Portanto as raízes são:

r 1 = + i

r 2 = - i

r 3 = + i

r 4 = - i

Passo 5

As raízes são complexas, então vamos pergar o primeiro conjugado delas, ou seja r 1 e r 2 :

y 1 + y 2 = c 1 cos ⁡ ln ⁡ x + c 2 s e n ( ln ⁡ x )

A solução referente a r 3 e r 4 seria:

y 3 + y 4 = c 3 cos ⁡ ln ⁡ x + c 4 s e n ( ln ⁡ x )

Porém essa solução já existe, então temos que multiplicá-la por l n ⁡ ( x )

Fica assim:

y 3 + y 4 = c 3 ln ⁡ x cos ⁡ ln ⁡ x + c 4 ln ⁡ x s e n ( ln ⁡ x )

Passo 6

Logo a solução geral da EDO será:

y h = y 1 + y 2 + y 3 + y 4

y h = c 1 cos ⁡ ln ⁡ x + c 2 s e n ln ⁡ x + c 3 ln ⁡ x cos ⁡ ln ⁡ x + c 4 ln ⁡ x s e n ln ⁡ x

Resposta

y h = c 1 cos ⁡ ln ⁡ x + c 2 s e n ln ⁡ x + c 3 ln ⁡ x cos ⁡ ln ⁡ x + c 4 ln ⁡ x s e n ln ⁡ x

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