UFMG, Sem Campus, Fundamentos de Oscilações e Ondas, Listas de Ondas - UFMG - Problemas sobre Oscilador Harmônico, Questão 28
Uma esfera sólida de raio flutua, em repouso, em um líquido cuja densidade é com a metade de seu volume submerso. Quando a esfera é suavemente empurrada para baixo e então solta ela começa a oscilar harmonicamente . Mostre que, para estas condições, a frequência de oscilação pode ser calculada por:
onde é a aceleração da gravidade.
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Aqui temos uma esfera de raio meio submersa em um líquido de densidade , nós empurramos levemente a esfera para dentro do líquido, desta maneira o balanço entre o Peso e o empuxo causado sobre a esfera geram um sistema que oscila harmonicamente, devemos usar esse balanço para calcular que
Vamos tentar fazer isso!
Passo 2
O balanço do peso com o empuxo inicialmente é tal que
note que podemos escrever o peso da esfera em termos da densidade da esfera, da seguinte maneira
como temos que
de forma que
O empuxo é como se fosse o peso da massa de líquido deslocada empurrando a esfera para cima, portanto, temos que
De forma que o balanço inicial nos dá que
ou seja, a densidade da esfera e do líquido estão relacionados pela relação
Mas porquê precisamos saber esta informação? Vem comigo!
Passo 3
Note que se afundarmos a esfera um pouco no líquido irá surgir uma força resultante de forma que
o novo empuxo, é o empuxo inicial mais um empuxo infinitesimal devido ao pequeno empurrão
em que é um elemento de volume que indica um pequeno deslocamento de massa, o nosso balanço de forças se torna então
Note que este é o formato de uma força restauradora, ou seja, podemos tomar a constante
como se fosse um coeficiente elástico da “mola”. Uma vez que no MHS temos que
temos que
usando que , e que , temos que
usando que
temos finalmente que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!