PREC de Álgebra Linear 1 da USP - 2016

Seja fixada uma orientação no espaço . Considere as seguintes afirmações:

1. Para quaisquer com não nulo, vale que é ortogonal a ;
2. Se é uma base ortonormal de e se e , então ;
3. Se e são bases negativas de e se e denotam as matrizes de mudança de base, então e .

Assinale a alternativa correta:

1. apenas a afirmação (I) é verdadeira;
2. apenas a afirmação (II) é verdadeira;
3. todas as afirmações são verdadeiras;
4. apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras;
5. apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.

Considere fixadas uma orientação no espaço e uma base ortonormal positiva de . Sejam e considere os vetores:

Se , então é igual a:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

Seja um inteiro positivo e sejam tais que a matriz seja obtida da matriz por operações elementares de escalonamento em linhas. Assinale a alternativa contendo uma afirmação que NÃO é necessariamente verdadeira:

1. os sistemas lineares homogêneos e (na incógnita ) possuem as mesmas soluções;
2. ;
3. se o sistema linear homogêneo (na incógnita ) possui infinitas soluções, então ;
4. qualquer linha de é uma combinação linear das linhas de ;
5. se as linhas da matriz são linearmente independentes, então o sistema linear (na incógnita ) possui uma única solução, para qualquer .

Seja um triângulo no espaço e sejam um ponto do segmento e um ponto do segmento tais que:

Se é o ponto na interseção dos segmentos e , então o quociente

é igual a:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

Seja o subespaço de definido por:

Dados , pode-se afirmar que:

1. se, e somente se, ;
2. ;
3. se, e somente se, e ;
4. se, e somente se, ;
5. se, e somente se, .

Considere um sistema de coordenadas em , em que é uma base ortonormal de . Seja a reta dada pela equação

e seja um plano que contenha a reta e diste da origem . Sejam e suponha que o vetor seja normal ao plano . Temos que é igual a:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

Considere os subespaços de definidos por:

Assinale a alternativa correspondente a uma base de :

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

Considere os polinômios:

, e .

Assinale a alternativa em que o polinômio é tal que é uma base de :

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .