USP, Álgebra Linear 1 – PREC – 2016 – Questão 9
Considere os polinômios:
, e .
Assinale a alternativa em que o polinômio é tal que é uma base de :
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Passo 1
Fala aí, pessoal! Como vocês estão? A questão tá pedindo pra gente que seja uma base de , certo? Vamos primeiro dar uma relembrada do que isso significa. Um elemento de nada mais é do que um polinômio de grau até três, ou seja, algo da forma:
Com isso, dizer que é uma base de significa que qualquer polinômio como esse daí de cima deve poder ser escrito de forma única como uma combinação linear dos polinômios do conjunto , ou seja:
onde são os coeficientes da nossa combinação linear.
Beleza. Mas agora, talvez você esteja pensando: “eu já lidei com vetores e bases no , mas como que eu vou fazer para verificar se um conjunto de polinômios é uma base?” Pois bem, agora que entra nosso truque maravilhoso!
Vamos pensar o seguinte: um polinômio do tipo de é perfeitamente identificável por aqueles 4 coeficientes ali, , certo? Então o que vamos fazer é corresponder esses polinômios com vetores do , da seguinte forma:
Fazendo isso com os polinômios que nos foram dados no enunciado, temos:
Vamos também agora fazer a correspondência para cada polinômio das alternativas da múltipla escolha:
Show de bola, fizemos nossa equivalência entre os polinômios e vetores do , mas é qual mesmo a condição que precisamos satisfazer para ter uma base? O conjunto de vetores deve ter o mesmo número de vetores que a dimensão do espaço e eles devem ser todos LI!
Juntando os polinômios do enunciado com qualquer um dos vetores das alternativas da múltipla escolha, temos um conjunto de 4 polinômios, então no quesito dimensão tá ótimo!
Mas e quanto a eles serem LI? Excelente pergunta! É por aí que nossa estratégia vai: vamos aplicar algum teste para verificar se um conjunto de vetores é LI para checar qual das alternativas satisfaz essa condição. Infelizmente não tem nenhum jeito mais fácil de chegar à resposta do que ficar testando as alternativas uma a uma ☹. Mas não desanima, vamos lá!
Passo 2
Nos cursos de Álgebra Linear costumam ensinar muitas formas diferentes de testar se um conjunto de vetores é LI ou não. Aqui vamos fazer o seguinte: colocar os três vetores que identificamos com nas três primeiras linhas de uma matriz. Na quarta linha vamos colocar o vetor correspondente ao da alternativa que estivermos testando.
Feito isso, vamos então escalonar a matriz! Para que os vetores sejam LI, devemos no final ter exatamente 4 pivôs. Se isso não acontecer, eles são LD. Entendeu?
Como aqui eu já sei qual é a resposta, vou fazer direto ela, beleza? Hahah. Mas o procedimento é exatamente o mesmo para cada alternativa. Bora testar a letra (e):
Somando a primeira linha com a segunda e com a terceira separadamente, temos:
Permutando a terceira e a quarta linhas:
E tá pronto! Nossa matriz tem os 4 pivôs direitinho. Logo, o conjunto é LI para , sendo, portanto, uma base para .
Entendeu tudinho? Então vamos juntos para nossa próxima questão!
Resposta
(e) .