Considere um sistema de coordenadas em , em que é uma base ortonormal de . Seja a reta dada pela equação

e seja um plano que contenha a reta e diste da origem . Sejam e suponha que o vetor seja normal ao plano . Temos que é igual a:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

Fala aí, galera! Como vocês estão? Para essa equação, as duas coisas principais das quais precisamos lembrar são: a expressão geral de um plano e a fórmula que usamos para calcular a distância de um ponto a um plano:

Nessas fórmulas, são as coordenadas de um vetor normal ao plano e são as coordenadas do ponto cuja distância ao plano estamos tentando determinar.

Show! O objetivo dessa nossa questão é calcular o do vetor normal , sendo que o próprio enunciado já nos dá que . Substituindo na equação do plano, temos:

Ok então! Nosso objetivo é calcular o , mas a verdade é que como são todas incógnitas pra gente na equação, é muito difícil normalmente obter diretamente. Quase sempre nesses casos nós vamos precisar pensar numa estratégia que nos permita calcular todas as incógnitas para obter aquela uma que nos interessa. Beleza?

Bom, se são três as nossas incógnitas, , então a princípio precisamos de três equações, certo? Como o enunciado nos dá que a reta pertence ao plano , vamos começar substituindo o ponto pelo qual a reta passa na equação do plano:

Show! Encontramos uma primeira equação. Como uma reta é definida por dois pontos, podemos conseguir ainda mais uma equação substituindo na equação de por algum valor qualquer. Tomando , temos:

Beleza, substituindo esse novo ponto na equação do plano, temos:

E encontramos mais uma equação. Falta uma! Nesse momento você pode estar pensando “será que eu não poderia substituir por algum outro valor na equação da reta, encontrar um outro ponto e então obter mais uma equação com esse ponto?” Se você estava pensando nisso, excelente pergunta! Mas infelizmente, não. Se calculássemos mais um ponto a partir da reta, junto com os outros dois que já temos, eles seriam colineares. Assim, a terceira equação que obteríamos seria LD com as duas que já encontramos. Ou seja, ela seria apenas combinação linear das duas equações que já encontramos.

Vamos então precisar encontrar um novo meio de obter nossa terceira e última equação. É aqui que entra uma última informação que o enunciado nos deu, mas que ainda não usamos: sabemos que o plano dista da origem, ou seja, do ponto . Usando a fórmula da distância de um ponto ao plano, temos:

Rearranjando:

Elevando os dois lados ao quadrado e multiplicando cruzado, temos:

Et voilà! Encontramos a última equação que nos faltava.