USP, Álgebra Linear 1 – PREC – 2016 – Questão 14
Seja o subespaço de definido por:
Dados , pode-se afirmar que:
- se, e somente se, ;
- ;
- se, e somente se, e ;
- se, e somente se, ;
- se, e somente se, .
Passo 1
Fala aí, galera! Tudo bem? O objetivo dessa nossa questão é descobrir “a forma”, ou seja, a carinha, dos vetores que pertencem ao espaço gerado pelos vetores de . Lembrando que espaço gerado nada mais do que o conjunto de todas as combinações lineares, beleza?
Show, a primeira coisa que talvez tenha te chamado atenção logo nesse iniciozinho é que eu falei “espaço gerado pelos vetores de ”, em vez de falar base. Isso porque apesar do nosso conjunto ter vetores do , o enunciado não diz em nenhum momento que se trata de uma base. Se tivesse, imediatamente já saberíamos que a resposta certa é (b), já que qualquer vetor de pertenceria a . Vamos então começar por aí, investigando quantos vetores de são LI.
Colocando os vetores de nas colunas de uma matriz e escalonando, os vetores associados às posições onde têm pivôs são aqueles que são LI, beleza? Então vamos lá:
Façamos as seguintes três operações:
- Multiplicar a primeira linha por e somar com a segunda;
- Somar a primeira e terceira linhas;
- Multiplicar a primeira linha por e somar com a quarta.
Feito isso, temos:
Agora, vamos somar a segunda linha com a terceira e a quarta (separadamente):
Para terminar, vamos permutar as linhas e :
Show! Terminamos o escalonamento e temos os pivôs , e nas três primeiras colunas. Como não temos pivô na quarta coluna, podemos eliminar o vetor e uma base para o espaço gerado por é dada por:
de onde apenas tiramos o último vetor.
Passo 2
Agora já temos uma base para o espaço gerado por , dada por:
Dela, podemos observar que temos vetores, certo? Logo, o espaço gerado por tem dimensão ! Ou seja, os vetores desse nosso espaço têm 3 variáveis livre e uma variável dependente. Imediatamente então podemos eliminar as alternativas (b) e (c) da nossa lista de opções de resposta. Na letra (b) teríamos um espaço de dimensão , com variáveis livres. Já na letra (c) teríamos um espaço de dimensão , com variáveis livres e dependentes.
Mas então? Como prosseguir agora? Ótima pergunta! Nossa estratégia consiste em agora exprimir “a forma” dos vetores do nosso subespaço para ver se descobrimos qual relação as variáveis precisam satisfazer. Como todo vetor pode ser expresso como combinação linear de , temos:
onde são os coeficientes da combinação linear.
Observando, a segunda e terceira coordenadas, temos:
Ou seja:
Como já vimos que a letra (c) não é uma alternativa possível, nos sobrou apenas a letra (e) como resposta. E tá pronto!
Entendeu? Bora continuar estudando!
Resposta
(e) se, e somente se, .