USP, Álgebra Linear 1 – PREC – 2016 – Questão 16
Considere os subespaços de definidos por:
Assinale a alternativa correspondente a uma base de :
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Passo 1
Oie! Tudo bem? O objetivo da nossa questão é encontrar uma base para a interseção de dois subespaços vetoriais, e . Então vamos começar primeiramente expressando claramente a forma dos vetores que pertencem a cada um desses dois subespaços. Isso porque o enunciado nos dá e apenas na forma de subespaços gerados por um conjunto de vetores, certo?
Bom, primeiro ponto: um subespaço gerado por um conjunto de vetores nada mais é do que o conjunto de todas as combinações lineares possíveis entre esses vetores. Dessa forma, um vetor pertence a se existirem coeficientes tais que:
Vamos colocar cada uma das coordenadas separadamente para que possamos ver mais claramente:
Aqui, vemos que as coordenadas e não guardam nenhuma relação com as demais. Em outras palavras, são variáveis livres. No entanto, se olharmos para e , vemos que e , ou seja:
Assim, a forma dos vetores é dada por:
Passo 2
Assim como fizemos para , vamos tentar entender a forma dos vetores pertencentes a , que são combinações lineares da forma:
Separando cada coordenada para melhor visualização:
Aqui e são variáveis livres, sem qualquer relação com as demais. Mas olhando para e , como e , temos:
Assim, a forma dos vetores é dada por:
Passo 3
Recapitulando até onde chegamos, encontramos que e são da forma:
Mas nesse ponto talvez você esteja se perguntando “Ok, mas como isso me ajuda a encontrar uma base para a interseção?” Pois bem! Ajuda porque temos que lembrar que um vetor precisa pertencer tanto a quanto a . Ou seja, precisa satisfazer às duas formas que encontramos acima simultaneamente:
Agora, basta verificarmos qual alternativa possui apenas vetores que satisfaçam as condições acima. Se fizermos isso, vamos perceber que a resposta é a letra (b), pois:
e
Entendeu tudo direitinho? Então vamos para mais uma questão!
Resposta
(b) ;