P1 de Álgebra Linear I - MAT1200 da PUCRIO - 2017.1

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(a) Se é um conjunto de vetores de que contém o vetor nulo, então é um conjunto linearmente dependente.

Considere as retas e de dadas pelas equações e respectivamente.

(a) Determine um vetor ortogonal à reta.

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(b) Se e são vetores não nulos e tais que , então .

(c) Se e são vetores tais que , então ou .

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(d) Se e então a área do paralelogramo formado por e é igual a seja qual for o valor de.

(e) Se e são vetores não nulos de e tais que , então .

Considere as retas e de dadas pelas equações e respectivamente.

(b) Determine

(c) Determine o cosseno do ângulo entre as retas e .

(d) Determine uma equação paramétrica da reta que é a reflexão da reta com relação à reta .

Considere as retas em

e .

(a) Encontre a equação cartesiana do plano que contém a reta e o ponto

Considere as retas em

e .

(b) Calcule a distância entre as retas e .

(c) Determine a posição relativa entre as retas e .

(d) Determine uma equação paramétrica da reta que liga os dois pontos mais próximos de e , ou seja, a reta com as seguintes propriedades:

(i) ;

(ii) ;

(iii) e são concorrentes;

(iv) e são concorrentes.