Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Enunciado

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(b) Se u ,   v e w são vetores não nulos e tais que u   ·   v   =   u   ·   w , então v   =   w .

(c) Se u e v são vetores tais que u   ·   v   =   0 , então u   =   0 ou v   =   0 .

Passo 1

(b) Facilita nossa vida aqui se pensarmos em vetores ortogonais, um vetor pode ter mais de um vetor ortogonal a ele todos os produtos internos entre eles serão iguais a zero.

Um contraexemplo:

u = 1,0 , 0   v = 0,1 , 0   w = ( 0,0 , 1 )

1,0 , 0 ⋅ 0,1 , 0 = 1,0 , 0 ⋅ 0,0 , 1 = 0

Assim a afirmação é falsa.

Passo 2

(c) Se u e v são vetores tais que u   ·   v   =   0 , então u   =   0 ou v   =   0 .

Essa afirmativa é falsa, já vimos que para um produto interno dar 0 os vetores apenas precisam ser ortogonais.

Um contraexemplo:

1 , - 1 ⋅ 1,1 = 1 - 1 = 0

Resposta

(a)Falso

(b)Falso

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →
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Determine a + b , 2 a + 3 b , |a| e |a - b| . 18. a = 4 i + j , b = i - 2 j