Considere as retas em R 3

r 1   =   { ( 1 ,   0 ,   0 )   +   t ( 1 ,   1 ,   0 ) | t   ∈ R }   e r 2   =   { ( 0 ,   - 2 ,   1 )   +   t ( 1 ,   0 ,   2 ) | t   ∈ R }   .

(a) Encontre a equação cartesiana do plano Π que contém a reta r 1 e o ponto P   =   ( 2 ,   - 1 ,   1 ) .

Passo 1

Vamos lá, queremos achar o plano Π   que contém tanto o ponto P   =   2 ,   - 1 ,   1 quanto a reta r 1   =   { ( 1 ,   0 ,   0 )   +   t ( 1 ,   1 ,   0 ) | t   ∈ R } .

Beleza, o que precisamos para achar a equação de um plano? 2 vetores diretores com 2 parâmetros e 1 ponto, certo?

Obs: isso aí vai me dar a equação paramétrica e o enunciado me pediu a equação cartesiana, mas não tem problema, já vimos que é muito tranquilo passar de um tipo de equação pra outro!

Passo 2

Ok, já sabemos o que precisamos, agora vamos analisar o que temos: tenho 2 pontos,   P   =   2 ,   - 1 ,   1 e o que está na equação da reta, 1 ,   0 ,   0 , além de 1 vetor diretor, 1 ,   1 ,   0   o que dita a direção de r 1 .

Não é bem o que queríamos né, mas é molezinha achar o outro vetor diretor com os nossos 2 pontos, lembrando que um vetor é extremidade menos origem. Vou então definir o ponto 2 ,   - 1 ,   1 como extremidade e o ( 1 ,   0 ,   0 ) como origem e achar:

u = 2 ,   - 1 ,   1 - 1 ,   0 ,   0 = ( 1 , - 1,1 )

Tá, agora você deve tá pensando, qual ponto eu boto na equação? Vamos usar o ponto que escolhemos como origem, blz!?

Π = { 1 ,   0 ,   0 +   t 1 ,   1 ,   0 + s ( 1 , - 1,1 ) | t , s   ∈ R } .

Passo 3

Agora é só transformar em equação cartesiana:

1 ,   0 ,   0 +   t 1 ,   1 ,   0 + s 1 , - 1,1 = 1 + t + s , t - s , s

x = 1 + t + s y = t - s z = s  

Substituindo na segunda equação s = z , fico com t = y + z e assim posso substituir os valores dos parâmetros t   e s na primeira equação:

x = 1 + y + z + z

x - y - 2 z = 1

Belezinha =D.

Resposta

x - y - 2 z = 1

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