PUCRIO, Álgebra Linear I, G1-2017.1, Questão 3d,e
Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.
(d) Se e então a área do paralelogramo formado por e é igual a seja qual for o valor de.
(e) Se e são vetores não nulos de e tais que , então .
Passo 1
(d) Se e então a área do paralelogramo formado por e é igual a seja qual for o valor de.
Podemos calcular a área do paralelogramo formado por dois vetores fazendo o módulo do produto vetorial deles:
Pronto, temos que o módulo desse resultado vai ser 1, claramente hahaha, e realmente não depende de , logo, a afirmativa é verdadeira.
Passo 2
(e) Gente, acabamos de ver que o produto vetorial acima independe de uma das coordenadas, então isso prova que vetores com coordenadas diferentes podem gerar o mesmo produto vetorial.
Para dar o contraexemplo vou pegar valores diferentes de para o caso acima:
Como já calculamos ali em cima para um qualquer, não vou calcular de novo hahaha. Já ta provado pra vocês que essa afirmativa é falsa.
Resposta
(d)Verdadeiro
(e)Falso