P1 de Álgebra Linear I - MAT1200 da PUCRIO - 2017.2

Considere a reta e os planos dados por:

• } ;

• }, onde e são constantes;

• , onde e são constantes;

• , onde e são constantes;

Assuma que e determine os valores das constantes e

Considere a reta e o ponto

(a) Determine a equação cartesiana do plano que contém e .

(b) Determine a equação cartesiana do plano que contém e é ortogonal à reta

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(a) Se e são vetores de tais que o conjunto é (Linearmente Dependente), então .

(b) Se e são vetores de tais que o conjunto é (Linearmente Independente), então

Considere a reta e o ponto

(c) Determine a distância entre a reta e oponto .

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(d) Se e são vetores de não nulos e ortogonais entre si, então .

(e) Se e são vetores de não nulos e ortogonais entre si, então

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(c) Se e são vetores de , então .

Em , considere um triângulo retângulo em e isósceles (catetos de mesma medida: ) satisfazendo simultaneamente:

•

•

• A origem está no interior do triângulo.

(a) Determine as coordenadas do ponto .

(b) Determine as coordenadas do ponto .

(c) Determine a distância entre o ponto e a reta que passa por e .

(d) Determine a projeção ortogonal do ponto sobre a reta que passa por e .