PUCRIO, Álgebra Linear I, G1-2017.2, Questão 4d, e
Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.
(d) Se e são vetores de não nulos e ortogonais entre si, então .
(e) Se e são vetores de não nulos e ortogonais entre si, então
Passo 1
(d) Se e são vetores de não nulos e ortogonais entre si, então .
Essa afirmativa é falsa! Vou usar os vetores ortogonais , e .
Calculando esse produto misto:
Agora vamos calcular e comparar. Bom, não precisamos pensar muito para perceber que o módulo de todos os vetores que temos é 1, assim essa multiplicação vai dar 1!
E como o , provamos que a alternativa é falsa.
Passo 2
(e) Se e são vetores de não nulos e ortogonais entre si, então
Opa, agora estamos falando de módulo, se fossemos aplicar essa alternativa no contraexemplo acima, ia nos mostrar que ela é verdadeira! Mas será que sempre vai ser?
Simm, pois o volume do paralelepípedo formado por 3 vetores ortogonais entre si é ao mesmo tempo que o módulo do produto misto desses 3 vetores também chega a essa informação. Assim, nossa afirmativa é verdadeira.
Resposta
(d)Falso
(e)Verdadeiro