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Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Enunciado

PUCRIO, Álgebra Linear I, G1-2017.2, Questão 2a, b

Considere a reta r = { 1 + t ,   1 - t ,   2 t ∈ R 3 | t ∈ R } e o ponto Q = ( 1 ,   0 ,   2 ) .

(a) Determine a equação cartesiana do plano Γ que contém Q e r .

(b) Determine a equação cartesiana do plano Γ ' que contém Q   e é ortogonal à reta r .

Passo 1

(a)Determine a equação cartesiana do plano Γ que contém Q e r .

Vamos reorganizar essa equação de reta aí:

r → 1 + t ,   1 - t ,   2 t = 1,1 , 0 + t ( 1 , - 1,2 )

Para achar a equação paramétrica de um plano preciso de 2 vetores diretores e 1 ponto, logo, preciso achar outro vetor. Para isso, vou fazer a subtração dos dois pontos que tenho, já que um vetor é extremidade menos origem:

P Q → = 1,0 , 2 - 1,1 , 0 = ( 0 , - 1,2 )

Beleza, assim tenho a equação paramétrica: Γ = { 1,1 , 0 + t 1 , - 1,2 + s ( 0 , - 1,2 ) | s , t ∈ R }

Passo 2

Mas gente, ainda não acabou, ele tá pedindo a equação cartesiana, não paramétrica, então temos que transformar:

1,1 , 0 + t 1 , - 1,2 + s 0 , - 1,2 = 1 + t , 1 - t - s , 2 t + 2 s

x = 1 + t y = 1 - t - s z = 2 t + 2 s

Substituindo t = x - 1 na segunda equação, achamos que s = 2 - x - y e assim podemos substituir s   e t   na última equação, achando 2 y + z = 2 .

Passo 3

(b) Determine a equação cartesiana do plano Γ ' que contém Q   e é ortogonal à reta r .

Beleza, agora eu tenho um vetor ortogonal ao plano que eu quero, u = ( 1 , - 1,2 ) e um ponto dele, Q = 1 ,   0 ,   2 .

Você lembra que os coeficientes das variáveis na equação de um plano são as coordenadas do vetor ortogonal a ele? Logo:

1 x - 1 y + 2 z = a

Agora posso substituir o ponto Q   para achar o a :

1 ⋅ 1 - 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 = a ⟹ a = 5

Assim temos x - y + 2 z = 5

Resposta

(a) 2 y + z = 2

(b) x - y + 2 z = 5

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Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. 2 x - 3 y + 4 z = 5 , x + 6 y + 4 z = 3
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
Determine as equações paramétricas da reta intersecção dos planos. 5 x - 2 y - 2 z = 1
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = y - 1 = 2 z ; 4 x - y + 3 z = 8 .