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P4 de Álgebra Linear I - MAT1200 da PUCRIO - 2014.2

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Álgebra Linear I - MAT1200 - PUCRIO

Considere a transformação linear T : R 3 ⟶ R 3 dada por

T x , y , z = ( x - y , x - z , y + z )

E denote T 2 = T ∘ T e T 3 = T ∘ T 2 .

a   Mostre que para todo w ∈ R 3 , o conjunto w , T w , T 2 w , T 3 w é L D .

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Andrezinho respondeu à questão “Prove que, para todo subespaço vetorial H ⊂ R n , tem-se que H ⊕ H ⊥ = R n " da seguinte maneira:

( d ) Complete a demonstração do Andrezinho. (Use as dimensões de H e H ⊥ !)

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Andrezinho respondeu à questão “Prove que, para todo subespaço vetorial H ⊂ R n , tem-se que H ⊕ H ⊥ = R n " da seguinte maneira:

a   Sejam V e W dois subespaços vetoriais de E . Defina " V + W   " .

b   Defina “a soma dos subespaços vetoriais V e W é direta”.

c   Andrezinho escreveu apenas uma demonstração parcial. O que falta na demonstração dele?

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Dizemos que duas matrizes A ,   B ∈ M 2 × 2 ( R ) comutam se satisfazem A B = B A . Considere o conjunto C ( A ) de todas as matrizes que comutam com A

C A = B ∈ M 2 × 2 R A B = B A }

a   Mostre que C ( A ) é um subespaço vetorial de M 2 × 2 ( R ) .

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Considere a transformação linear T : R 3 ⟶ R 3 dada por

T x , y , z = ( x - y , x - z , y + z )

E denote T 2 = T ∘ T e T 3 = T ∘ T 2 .

Agora considere v = ( 1,0 , 0 ) . Note que β = v , T v , T 2 v é uma base de R 3 e sejam a 0 ,   a 1 ,   a 2 as coordenadas de T 3   ( v ) na base β .

( b ) Escreva a matriz A = T β em função de a 0 ,   a 1 ,   a 2 .

( c ) Calcule o polinômio característico de A . (Pode deixar em função dos a i ' s .)

( d ) Determine em função dos a i ' s um polinômio p ∈ P 3 , p x = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3 tal que p A = b 0 I + b 1 A + b 2 A 2 + b 3 A 3 = 0 .

(Dica: observe que T 3 v = a 0 v + a 1 T v + a 2 T 2 ( v ) .)

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Dizemos que duas matrizes A , B ∈ M 2 × 2 ( R ) comutam se satisfazem A B = B A . Considere o conjunto C ( A ) de todas as matrizes que comutam com A

C A = B ∈ M 2 × 2 R A B = B A }

( b ) Seja Q uma matriz inversível e A ' = Q - 1 A Q . Mostre que a transformação linear S definida por S B = Q - 1 B Q é uma bijeção de C ( A ) para C ( A ' ) .

(Dica: Verifique o contra-dominio de S e exiba a transformação inversa S - 1 .)

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Dizemos que duas matrizes A , B ∈ M 2 × 2 ( R ) comutam se satisfazem A B = B A . Considere o conjunto C ( A ) de todas as matrizes que comutam com A

C A = B ∈ M 2 × 2 R A B = B A }

Considere agora o caso particular das matrizes A = 1 - 1 - 4 1 e D = 3 0 0 - 1 .

( e ) Calcule a dimensão de C ( A ) .

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Dizemos que duas matrizes A , B ∈ M 2 × 2 ( R ) comutam se satisfazem A B = B A . Considere o conjunto C ( A ) de todas as matrizes que comutam com A

C A = B ∈ M 2 × 2 R A B = B A }

Considere agora o caso particular das matrizes A = 1 - 1 - 4 1 e D = 3 0 0 - 1 .

( c ) Mostre que existe uma matriz P invertível tal que A = P D P - 1 .

(Observação: é possível mas não é necessário calcular a matriz P , nem P - 1 .)

( d ) Mostre que se uma matriz B comuta com D , então B é diagonal.

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Listas de Exercícios Resolvidos

P1 - 2016.2P1 - 2017.1P2 - 2018.1P4 - 2017.2P3 - 2018.2P2 - 2018.2P2 - 2019.1P1 - 2019.2P4 - 2019.2P3 - 2019.2